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UNIVERSIDAD CATOLICA ANDRES BELLO<br />

FACULTAD DE INGENIERIA – DEPARTAMENTO DE FÍSICA<br />

LABORATORIO DE FISICA II – TELECOMUNICACIONES<br />

MEDICION DE CANTIDADES FISICAS<br />

La realización de cualquier proceso experimental en disciplinas científico-tecnológicas pasa por una<br />

serie de etapas como son: (a) definición de objetivos, (b) selección de montajes, dispositivos e<br />

instrumentos, (c) observación y recolección de datos, (d) tratamiento de los datos para generar<br />

resultados, (e) análisis de los resultados y (f) conclusiones del experimento.<br />

El concepto de cantidad en Física está estrictamente asociado con la existencia de un método de<br />

medida que permita establecer unívocamente un valor numérico en relación a una cantidad de la<br />

misma especie elegida como unidad de medida o patrón.<br />

Existen tres métodos de medidas: un método de comparación directa con el patrón (regla, balanza<br />

analítica), el uso de instrumentos calibrados (termómetro, velocímetro) y un método indirecto<br />

mediante el uso de una relación analítica (área, volumen).<br />

MEDIDAS E INCERTIDUMBRES<br />

Debido a la imperfección de los instrumentos y a las limitaciones sensoriales de cualquier persona,<br />

toda medida siempre va a tener una cierta incertidumbre por lo que no necesariamente debe<br />

coincidir con el valor verdadero correspondiente.<br />

(En algunos textos en lugar del término incertidumbre se usa la palabra error, pero esto no significa que la medida sea<br />

mala.)<br />

Existen dos fuentes de incertidumbres: una de carácter sistemática cuando el valor medido resulta<br />

siempre mayor (o siempre menor) que el valor verdadero como sería el caso de un cronómetro que<br />

adelante (o atrase), y otra de carácter casual en que el valor medido resulta a veces mayor, a veces<br />

menor, aleatoriamente respecto al valor verdadero, como ocurre al apretar el botón del cronómetro.<br />

El primer caso, sistemático, es causado por una imperfección instrumental y la manera de mejorar la<br />

medida no es hacer muchas medidas con el mismo cronómetro, sino usar otros cronómetros.<br />

El segundo caso, aleatorio, puede ser causado por la imposibilidad de hacer coincidir exactamente<br />

una señal con el movimiento de nuestro dedo para arrancar o detener el cronómetro o por un<br />

descuido momentáneo. En esta situación tiene sentido, si es posible, tomar muchas medidas para<br />

buscar un valor promedio.<br />

En este primer curso de Laboratorio de Física nos restringiremos a tomar algunos elementos muy<br />

sencillos para un primer tratamiento sobre la cuantificación de incertidumbres.<br />

CUANTIFICACION DE INCERTIDUMBRES<br />

Apreciación<br />

La fuente más simple de incertidumbre en una medida la constituye la limitación física de un

---

instrumento que tiene una escala graduada como es el caso de una regla, en la que no se puede leer<br />

menos de 1 mm, un transportador, en el que la menor lectura es 1º, o la pantalla de un cronómetro<br />

digital, cuya menor lectura es 0.01 s. Se define como apreciación de un instrumento al mínimo valor<br />

que se puede leer en su escala graduada o que muestre en su pantalla (menor medida que se puede<br />

hacer).<br />

Promedio<br />

En el caso de medidas sujetas solamente a fuentes de incertidumbre de tipo casual, se suele obtener<br />

experimentalmente el mejor valor de una cantidad X haciendo un conjunto de N medidas Xi y<br />

determinando el valor medio o promedio por la media aritmética:<br />

— X i<br />

X <br />

N<br />

Incertidumbre absoluta e incertidumbre relativa<br />

La incertidumbre absoluta X de una sola medida X está dada directamente por la apreciación<br />

del instrumento. El resultado se escribe como X ± X<br />

En el caso de un conjunto de medidas que conduce a un valor medio, una primera estimación de la<br />

incertidumbre puede obtenerse haciendo la semidiferencia de las dos medidas extremas:<br />

max min<br />

2<br />

X X <br />

X <br />

(existe un tratamiento estadístico que conduce al concepto de desviación estándar el cual da una mejor estimación de la<br />

incertidumbre)<br />

Se define como incertidumbre relativa x la relación entre la incertidumbre absoluta y la medida (o el<br />

valor medio) expresada como porcentaje:<br />

X<br />

<br />

x 100<br />

%<br />

X <br />

Cifras significativas<br />

Es el número de dígitos con que se expresa un resultado. Los ceros solo se cuentan si están entre<br />

dígitos no nulos o explícitamente al final de la cantidad, no si están al comienzo. Por ejemplo, las<br />

siguientes cinco cantidades tienen cuatro cifras significativas: 4213 , 31.24 , 0.01423 , 0.2003 , 104.0<br />

En notación científica las mismas cinco cantidades anteriores con cuatro cifras significativas se<br />

expresan como: 4.213x10 3 , 3.124x10 1 , 1.423x10 -2 , 2.003x10 -1 , 1.040x10 2 . (Nótese que este último<br />

número sin el cero final,1.04x10 2 , tiene tres cifras significativas)<br />

Usualmente las incertidumbres se expresan con una sola cifra significativa y su posición establece la<br />

última cifra significativa de la cantidad principal, por ejemplo, 57.8 ± 0.6<br />

Redondeo<br />

Resulta lógico que carece de sentido expresar una cantidad con dígitos cuya posición esté por debajo<br />

de la posición de su incertidumbre, por ejemplo, 57.841 ± 0.6 muestra una cantidad con tres<br />

decimales, pero su incertidumbre está en el primer decimal, así que debe reescribirse como 57.8 ±<br />

0.6

---

Debe destacarse que lo importante es la cantidad medida. La incertidumbre en solo un valor<br />

aproximado que permite tener una idea de que tan confiable es el valor obtenido de la cantidad<br />

considerada.<br />

PROPAGACIÓN DE INCERTIDUMBRES<br />

En general una medida X se considera aceptable si su incertidumbre absoluta X resulta pequeña<br />

en comparación con su valor, por ejemplo, menor de un 5%.<br />

Este hecho ( X

---

Mida la separación Xi entre los dos trazos en cinco puntos diferentes de las rectas: los dos<br />

extremos, el medio y dos puntos intermedios. Obtenga el valor medio X de la separación.<br />

Obtenga la incertidumbre absoluta X evaluando la semidiferencia de los valores extremos.<br />

Exprese la separación en sus dos formas: valor medio con su incertidumbre absoluta X X<br />

,<br />

y valor medio con su incertidumbre relativa X con<br />

X<br />

Cómo se compara la incertidumbre relativa en este caso con las obtenidas en la actividad 1.a?<br />

3. Dibuje ahora un círculo del tamaño del puño. Nuevamente la imposibilidad de hacer un círculo<br />

perfecto origina una incertidumbre de tipo casual.<br />

Mida el diámetro en seis direcciones diferentes. Obtenga el valor medio d y las incertidumbres<br />

absoluta d y relativa d . Exprese el diámetro en sus dos formas.<br />

Conocido el diámetro medio d calcule la circunferencia media como: s d<br />

Para determinar la incertidumbre absoluta en la circunferencia note que para la propagación de<br />

la incertidumbre del diámetro en la circunferencia está multiplicando por una constante así<br />

que simplemente:<br />

s s<br />

d d<br />

s<br />

d<br />

Otra cantidad a determinar es el área promedio: 2 4 d a<br />

<br />

<br />

En este caso está elevando el diámetro al cuadrado por lo que la propagación de su<br />

incertidumbre se puede estimar desarrollando:<br />

<br />

4<br />

2 <br />

<br />

4<br />

4<br />

2<br />

2<br />

2<br />

a a<br />

d d<br />

d 2 dd<br />

d d 2 dd<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

donde se ha despreciado explícitamente el tercer sumado (por qué ?), obteniéndose entonces:<br />

<br />

a<br />

d d<br />

2<br />

4. Agarre ahora otra hoja y haga una pelota con ella. Cómo puede obtener el diámetro medio de la<br />

pelota ?<br />

Una forma podría ser superponer una regla y girar la pelota para determinar unos seis valores<br />

del diámetro, pero esto agrega una imprecisión visual al momento de hacer las medidas.<br />

Otra forma podría ser mediante el uso de una cuerda o equivalente (hilo, cordón de zapatos).<br />

Se mide la circunferencia para unas seis orientaciones distintas de la pelota, se calcula la<br />

circunferencia media, y de ahí, el diámetro medio:

---

1 d d<br />

s s<br />

<br />

Conocido entonces el diámetro medio, proceda a calcular el área media y el volumen medio de<br />

la esfera:<br />

3 2<br />

v d<br />

<br />

6 d<br />

a <br />

Haciendo un procedimiento similar al desarrollado para el área en el caso del círculo, demuestre<br />

que las incertidumbres absolutas del área media y el volumen medio de la esfera son:<br />

REFERENCIAS<br />

2 d d<br />

<br />

a<br />

2 d<br />

v<br />

<br />

2<br />

Tipler-Mosca (cap.1) Serway-Beichner (cap.1) Resnick-Halliday-Krane (cap.1) Fishbane-<br />

Gasiorowicz-Thornton (cap.1)<br />

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