Un arco de una circunferencia o de un círculo es una porción de la circunferencia. La longitud de un arco es simplemente la longitud de esta porción de la circunferencia. La circunferencia en sí, puede ser considerada un arco que da la vuelta completa al círculo.
A continuación, conoceremos las diferentes fórmulas y métodos que podemos usar para encontrar la longitud del arco usando tanto grados como radianes. Luego, veremos algunos ejercicios en donde aplicaremos estos métodos.
PRECÁLCULO
Relevante para…
Aprender sobre el arco de una circunferencia con ejercicios.
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Aprender sobre el arco de una circunferencia con ejercicios.
¿Cómo encontrar la longitud del arco?
La longitud del arco es igual a la longitud de una porción de la circunferencia. Además, también tenemos que considerar a la medida del arco, la cual es igual al ángulo central que interseca al arco. Podemos mirar a la medida del arco y a la longitud del arco en el siguiente diagrama:
Ahora, consideremos las siguientes proporciones:
$latex \frac{\text{medida arco}}{360^{\circ} }=\frac{\text{longitud arco}}{\text{circunferencia}}$
Podemos resolver esto para la longitud del arco y reemplazar la «medida del arco» por «ángulo central» ya que son equivalentes. Entonces, tenemos:
$$\text{longitud arco}=\frac{\text{ángulo central}}{360^{\circ}}\times \text{circunferencia}$$
Podemos observar que la longitud del arco es una parte fraccionaria de la circunferencia. Por ejemplo, la medida del arco de 60° es igual a un sexto de 360°, lo que significa que la longitud del arco también será igual a un sexto de la longitud de la circunferencia.
Medidas en radianes
La medida en radianes, θ, de un ángulo central es definida como la proporción de la longitud del arco, s, dividida por el radio del círculo, r:
$latex \theta=\frac{s}{r}=\frac{\text{longitud arco}}{\text{longitud radio}}$
Usando esto, podemos calcular la longitud del arco de la siguiente manera:
$latex s=\theta r$
Ejercicios de arcos de circunferencias resueltos
Las fórmulas y métodos indicados arriba son usados para encontrar las longitudes de los arcos en los siguientes ejercicios. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.
EJERCICIO 1
¿Cuál es la longitud de un arco que tiene un ángulo central de 60° si es que la circunferencia mide 12 m?
Solución
El valor del ángulo central es 60° y la longitud de la circunferencia es 12 m. Entonces, reemplazamos a estos valores en la fórmula de la longitud del arco:
$$\text{longitud arco}=\frac{\text{ángulo central}}{360^{\circ}}\times \text{circunferencia}$$
$latex =\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\times 12$
$latex =\frac{1}{6}\times 12$
$latex =2$
La longitud del arco es igual a 2 m.
EJERCICIO 2
Si es que un arco tiene un ángulo central de 40° y la circunferencia tiene una longitud de 27 m, ¿cuál es la longitud del arco?
Solución
El ángulo central es 40° y la circunferencia mide 27 m. Al usar a estos valores en la fórmula de la longitud del arco, tenemos:
$$\text{longitud arco}=\frac{\text{ángulo central}}{360^{\circ}}\times \text{circunferencia}$$
$latex =\frac{40^{\circ}}{360^{\circ}}\times 27$
$latex =\frac{1}{9}\times 27$
$latex =3$
La longitud del arco es igual a 3 m.
EJERCICIO 3
¿Cuál es la longitud de un arco que tiene un ángulo central de 120° y está formado por un radio de 6 m?
Solución
En este caso, tenemos el valor del radio en vez de la circunferencia. Entonces, tenemos que calcular la longitud de la circunferencia usando el radio $latex r=6$. Por lo tanto, tenemos:
$$\text{longitud arco}=\frac{\text{ángulo central}}{360^{\circ}}\times \text{circunferencia}$$
$latex =\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}\times (2\pi (6))$
$latex =\frac{1}{3}\times 37.7$
$latex =12.57$
La longitud del arco es igual a 12.57 m.
EJERCICIO 4
¿Cuál es la longitud del arco que tiene un radio de 3 m y una medida de 1.5 radianes?
Solución
Este caso, tenemos la longitud del radio $latex r=3$ y la medida del arco en radianes $latex \theta=1.5$. Entonces, tenemos que usar la segunda fórmula con estos valores:
$latex s=\theta r$
$latex =(1.5)(3)$
$latex =4.5$
La longitud del arco es 4.5 m.
EJERCICIO 5
Si es que un arco tiene una medida de 2.1 radianes y está formado por un radio de 5 m, ¿cuál es su longitud?
Solución
Tenemos el radio $latex r=5$ y la medida del arco $latex \theta=2.1$. Usando la segunda fórmula con estos valores, tenemos:
$latex s=\theta r$
$latex =(2.1)(5)$
$latex =10.5$
La longitud del arco es 10.5 m.
Ejercicios de arcos de circunferencias para resolver
Practica el uso de las fórmulas y los métodos indicados arriba para encontrar las longitudes de los arcos y resolver los siguientes ejercicios. Mira los ejercicios resueltos de arriba si es que necesitas ayuda.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre circunferencias? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
