3.4 Gráfica de una ecuación polar

La gráfica de una ecuación polar expresada como r en función de θ es:

r = f (θ)

O más generalmente F (r, θ) = 0, consiste de todos puntos P que tienen al menos una representación polar (r, θ) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.

Representación gráfica de la ecuación r = a en un círculo con centro o y radio ∣a∣, donde, θ no se especifica, entonces, un punto (a, θ) yace sobre la gráfica de r = a para cualquier valor de θ y a

Figura 3.9. La ecuación r = a .

El punto (a, θ) se encuentra a a unidades del origen, ver gráfica.

Consideremos la curva generada por la función :

r = f (θ)

(Eje y). La curva es simétrica respecto a la recta vertical θ = 2 π si para cada punto (r, θ) en el gráfico, el punto (r, π−θ) también está en el gráfico. De manera similar, la

ecuación no cambia cuando θ se reemplaza por

r = f (θ)

π−θ. (Eje x). La curva es simétrica sobre el eje polar si para cada punto (r, θ) en el gráfico, el punto también está en el gráfico. De manera similar, la ecuación no cambia al reemplazar por . (Origen o). La curva es simétrica sobre el polo si para cada punto en el gráfico, el punto también está en el gráfico. De manera similar, la ecuación no cambia cuando se reemplaza con , o con .

(r, −θ)

r = f (θ) θ −θ (r, θ) (r, π + θ)

r = f (θ) r −r θ π + θ

Figura 3.10. Simetrías de una gráfica polar r = f (θ)

.60

En un curso de cálculo de funciones, se aprendió que un posible procedimiento para construir la gráfica de una función es utilizar una tabla, como se ilustra en la siguiente gráfica: y = f (x)

Figura 3.11. Gráfica en coordenadas rectangulares de y = 2x2

En el caso de las coordenadas polares, la construcción de la gráfica de r = f (θ) auxiliándose de una tabla de valores, como en el caso de coordenadas cartesianas.

Por ejemplo, construyamos la gráfica de r = 1 + 2cos(θ) en un sistema de coordenadas polares con ayuda de una tabla de valores.

Una manera de graficar esta ecuación es incorporar unos cuantos puntos bien escogidos correspondientes a , como se ve en la siguiente tabla, 0 ≤ θ ≤ 2π

Tabla de valores de r = 1 + 2cos(θ)

Figura 3.12. Valores para la gráfica de r = 1 + 2cos(θ)

Cuando r < 0, el punto debe dibujarse a un ángulo (θ + π)

Figura 3.13. Gráfica de la curva polar r = 1 + 2cos(θ)

Ver gráficas con la calculadora gráficadora de GeoGebra.

Para ver la animación oprime el botón . Observa como se forma la gráfica de la función en coordenada polares. Utiliza la escena para verificar las gráficas de las funciones en coordenadas polares . (r, θ)

(r, θ)

Gráficas de funciones polares, Características de las gráficas.

Resumen. Gráficas de las curvas polares.

Utiliza la escena para graficar curvas , para ingresar el simbolo combina las teclas Alt + t. GeoGebra. Utiliza el software para graficar en coordenadas cartesianas y comparar las funciones en los dos planos. Clic Aqui. (r, θ) θ