Colegio Don Bosco Altamira Matemática
Teorema de Pitágoras
Salvador Rivera 1er año B
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FRASES DE PITÁGORAS Educad a los niños y no será necesario castigar a los hombres. Educar no es dar carrera para vivir, sino templar el alma para dificultades de la vida. Una tonelada de ciencia no vale más que una gota de sabiduría. El que habla, siembra; el que escucha, recoge. Cultivad las matemáticas: todos nuestros crímenes son errores de cálculo. Escribe en la arena las faltas de tu amigo. No digas pocas cosas en muchas palabras, sino muchas cosas en pocas palabras. Los hombres que siempre hablan verdad son los que más se aproximan a Dios. No veas en tu enemigo más que un amigo extraviado. La ira se halla también en otros animales; la sabiduría, sólo en el hombre. No te vuelvas enemigo del hombre del cual dejas de ser su amigo. Evitad todo aquello que pueda atraer a la envidia. No sabe hablar quien no sabe callar. La libertad dijo un día a la ley “Tú me estorbas” La ley respondió a la libertad: “Yo te guardo”.
Teorema de Pitágoras, Historia y Aplicación. Salvador Rivera Don Bosco Altamira 1er año B 2
PRÓLOGO
Teorema de Pitágoras El Teorema de Pitágoras, la Divina Proporción, los Inconmensurables y los Poliedros regulares son cuatro capítulos fundamentales de la Matemática elemental escolar, que forman parte de lo que genéricamente se denomina, desde el punto de vista histórico, como Geometría pitagórica. Estos temas, aparecen en los albores de la Matemática griega, cuando gracias a la figura iniciática de Pitágoras, la ciencia del número y la extensión trasciende la práctica meramente empírica e inductiva de las civilizaciones del Próximo Oriente y da el gran salto cualitativo hacia una ciencia especulativa y deductiva, es decir, se funda propiamente la Matemática como ciencia. Esta realidad es la que expresa una de las fuentes de conocimiento más importantes que tenemos sobre los primeros matemáticos griegos. Se trata del Comentario al Libro I de los Elementos de Euclides, un valioso documento en el que el filósofo neoplatónico Proclo de Licia escribe: «Pitágoras transformó la doctrina de Tales en enseñanza liberal, examinó desde lo alto los principios de la Geometría, investigó los teoremas de un modo inmaterial e intelectual y descubrió la dificultad de los números irracionales y la construcción de las figuras cósmicas [poliedros]». «el Teorema de Pitágoras pertenece al imaginario cultural de todos los pueblos». Desde luego nadie duda de que el Teorema de Pitágoras es el más popular, famoso y espléndido de todos los resultados de la Geometría elemental, que yace, de forma ineludible, en el pasado de toda persona, como recuerdo infantil inmarcesible de la Matemática escolar. El Teorema de Pitágoras es un preciado tesoro geométrico al que se le ha bautizado con numerosos nombres y que constituye la fuente principal de las relaciones métricas de la Geometría elemental. 3
PRÓLOGO
Teorema de Pitágoras
La «ciencia matemática» practicada por Pitágoras y los matematikoi difiere del tratamiento de esta ciencia que se lleva a cabo en universidades o instituciones modernas. Los pitagóricos no estaban interesados en «formular o resolver problemas matemáticos», ni existían para ellos «problemas abiertos» en el sentido tradicional del término. El interés de Pitágoras era el de «los principios» de la matemática, «el concepto de número», «el concepto de triángulo» (u otras figuras geométricas) y la idea abstracta de «prueba». Como señala Brumbaugh, "Es difícil para nosotros hoy en día, acostumbrados como estamos a la abstracción pura de las matemáticas y el acto mental de la generalización, el apreciar la originalidad de la contribución pitagórica. "Pitágoras reconocía en los números propiedades tales como «personalidad», «masculinos y femeninos», «perfectos o imperfectos», «bellos y feos». El número diez era especialmente valorado, por ser la suma de los primeros cuatro enteros [1 + 2 + 3 + 4 = 10], los cuales se pueden disponer en forma de triángulo perfecto: la «tetraktys». Para los pitagóricos, «las cosas son números», y observaban esta relación en el cosmos, la astronomía o la música. En las siguientes páginas se presentarán los diversos aportes de distintas civilizaciones a este importante teorema de la geometría, civilizaciones tales como la china, egipcia o indú.
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INDICE Estudios y aportes realizados sobre el teorema de Pitágoras
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Descripción e imágenes del Teorema de Pitágoras en Egipto
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Descripción e imágenes del Teorema de Pitágoras en China
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Descripción e imágenes del Teorema de Pitágoras en la India
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Descripción e imágenes del Teorema de Pitágoras en la academia de Platón pag 10 El teorema de Pitágoras en la vida diaria
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Estudios y aportes realizados sobre el teorema de Pitágoras En las Matemáticas de todas las civilizaciones históricas, las relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo han sido siempre uno de los temas más relevantes objeto de estudio y especulación. La primera y más sobresaliente de estas relaciones es el Teorema universalmente asociado, por tradición, con la figura de Pitágoras, en el que se establece: «El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.» Este enunciado es considerado por muchos historiadores de la Matemática como el más deslumbrante, atractivo, famoso y útil teorema de la Geometría elemental, porque ha marcado un hito fundamental en la Historia de las Matemáticas. Además de Teorema de Pitágoras, se le ha llamado de muy diversas formas a lo largo de la Historia. Los griegos le llamaban Teorema de la mujer casada, en la Edad Media se le apodó Inventum hecatombe dignum y Magister matheseos y muy habitualmente se le ha llamado la proposición I.47, atendiendo al lugar que ocupa en Los Elementos de Euclides.
Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Ningún teorema matemático ha recibido tanta atención y curiosidad y tantas pruebas, ilustraciones y demostraciones de personajes muy diferentes y con intereses intelectuales muy heterogéneos. Es un teorema que ha causado una gran admiración a todo tipo de personas, matemáticos y no matemáticos, pero también una gran extrañeza y perplejidad a otras – Leonardo, Hobbes, Schopenhauer, Einstein– porque, a diferencia de otros teoremas, aparentemente no existe ninguna razón intuitiva para que los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo –la hipotenusa y los catetos– iban tener un vínculo tan estrecho entre sí. La verosimilitud del Teorema de Pitágoras no depende de un dibujo bien ilustrado sino que obedece por completo a un ejercicio intelectual puro alejado de lo sensorial –la deducción lógica–. Por eso, para muchos historiadores de la Ciencia, el Teorema de Pitágoras tiene un valor simbólico iniciático como elemento cultural responsable de la aparición de la Geometría racional en la Escuela Pitagórica y por tanto forma parte ineludible de la semilla básica de la propia naturaleza de la Matemática desde su origen como ciencia especulativa y deductiva en los albores de la civilización helénica. 6
Descripción e imágenes sobre la demostración del Teorema de Pitágoras en Egipto Los famosos papiros de Rhind y de Moscú, a pesar de su alto valor matemático, no mencionan el Teorema de Pitágoras ni las ternas pitagóricas. No obstante, los egipcios conocían y utilizaban el hecho de que el triángulo de lados 3, 4 y 5 (o proporcionales a estos números), llamado «Triángulo Egipcio», es rectángulo, para trazar una línea perpendicular a otra, a modo de «escuadra de carpintero», que era una práctica habitual de los agrimensores oficiales para recuperar las fronteras de los lindes de las tierras tras los periódicos corrimientos de tierras producidos por las crecidas del río Nilo. «Los egipcios se imaginaban el mundo la forma del mas bello de los triángulos. Este triángulo, símbolo de la fecundidad, tiene su lado vertical compuesto de tres, la base de cuatro y la hipotenusa de cinco partes. El lado vertical simbolizaba al macho, la base a la hembra, y la hipotenusa a la primogenitura de los dos.»
Todas las pirámides de Egipto, excepto la de Keops, incorporan, de alguna manera, este triángulo rectángulo en su construcción, el cual añade a su sencillez –que permite una comprobación visual instantánea del Teorema– el hecho de ser el único cuyos lados son enteros consecutivos, teniendo los obtenidos por proporcionalidad los lados en progresión aritmética. Era utilizado frecuentemente por los agrimensores para recuperar las fronteras después de los desbordamientos del río Nilo.
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Descripción e imágenes sobre la demostración del Teorema de Pitágoras en China Aspectos geométricos vinculados al Teorema de Pitágoras aparecen en dos tratados clásicos chinos de contenido matemático. Se tratan de el Chou-Pei SuanChing (Aritmética clásica del gnomon y estudio de las órbitas circulares en los cielos), de cronología muy incierta, probable en torno al año 300 a.C., y el ChuiChang Suang-Shu (Nueve capítulos sobre el arte matemático), fechado hacia el año 250 antes de J.C. Todo lo que se conoce en la literatura china antigua relativo al Teorema de Pitágoras, está incluido en estas obras, las cuales, muy probablemente, son el resultado de la recopilación de conocimientos añadidos sucesivamente en muy diversas épocas anteriores a las fechas citadas. Su contenido fue sustancialmente ampliado y desarrollado por dos comentaristas del siglo III de nuestra era, Zho-Shuang y Liu-Hui. Los tratados originales tratan los aspectos primitivos del Teorema, es decir los resultados numéricos concretos, así como las leyes generales de formación de las ternas pitagóricas, mientras que los aspectos más evolucionados de la demostración son elaborados por Zhao y Liu.
Los chinos dieron una original demostración del teorema de Pitágoras, calcularon el número π por aproximación y resolvieron sobre el tablero de damas las ecuaciones de primer grado. Sin embargo, el empleo del cero no apareció hasta el siglo VII de nuestra era.
La parte más antigua del Chou-Pei Suan-Ching se abre con una discusión sobre triángulos rectángulos, pero lo más destacable es la descripción de una figura llamada «Diagrama de la hipotenusa». La porción inferior de este diagrama, el hexágono AHGFEB, se compone de dos cuadrados AHCB y CEFG que tienen por lados, los catetos del triángulo rectángulo. Este área es equivalente al cuadrado ADFK sobre la hipotenusa del triángulo, de donde resulta el Teorema de Pitágoras.
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Descripción e imágenes sobre la demostración del Teorema de Pitágoras en India Como resultado de la planificación de templos y de la construcción de altares, entre los siglos octavo y segundo A.C, en la India se desarrollan conocimientos aritmético– geométricos, prácticos y primitivos, relacionados con el Teorema de Pitágoras. Todo este venerable saber adoptó la forma de un cuerpo de doctrina conocido por el nombre de «Sulvasutras» o «Manual de las reglas de la cuerda». Sulva es un término que se refiere a las cuerdas utilizadas para realizar mediciones, pues la India tuvo también, como Egipto, los «tensadores de la cuerda», mientras que el término sutra hace referencia a un libro de reglas o aforismos relativos a un determinado ritual o a una ciencia. Así pues, los Sulvasutras hindúes eran una especie de manuales donde se detallaban prescripciones para la construcción ritual de altares de forma y tamaño determinados. Los Sulvasutras más interesantes son los de Baudhayana y Apastamba que pueden remontarse al siglo V a.C. En ellos se describe el uso de la cuerda no sólo para medir, sino también para el trazado de líneas perpendiculares, por medio de ternas de cuerdas cuyas longitudes constituyen ternas pitagóricas tales como 3,4,5; 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. Aunque para este fin se utilizaba sobre todo el triángulo de lados 15, 36 y 39 – derivado del triángulo de lados 5, 12 y 13, llamado el «Triángulo indio» de forma similar al Triángulo egipcio–. Las ternas pitagóricas son clasificadas en la forma siguiente:
Resulta difícil valorar la originalidad de los conocimientos sobre el Teorema de Pitágoras en la India. El hecho cierto de que todas las ternas pitagóricas que aparecen en los Sulvasutras se puedan derivar fácilmente de la vieja regla babilónica para construirlas, permite asegurar la influencia mesopotámica sobre el saber hindú acerca del tema. Trazas de los altares trapezoidales del Sulvasutra de Apastamba (siglo V a.C.) con indicación de las ternas pitagóricas utilizadas en la construcción ritual. 9
Descripción e imágenes sobre la demostración del Teorema de Pitágoras en la academia de Platón
El Teorema de Pitágoras en el caso particular del triángulo rectángulo isósceles aparece en el diálogo El Menón (82d–83e) de Platón a propósito del problema de la «duplicación del cuadrado» que es la antesala del famoso problema délico de la duplicación del cubo. Curiosamente Platón utiliza el problema para sustentar la doctrina de la reminiscencia. Sócrates y un esclavo mantienen una conversación, en la que mediante una concatenación de preguntas de aquél, entrelazadas heurísticamente con las respuestas de éste, se resuelve el problema. Las primeras respuestas del esclavo son de índole aritmética, pero «resultando la imaginación aritmética inexacta», Sócrates reconducirá el diálogo, induciendo un tratamiento exclusivamente geométrico. En la búsqueda de ternas pitagóricas, Platón encontró una ley de formación que se puede expresar en la forma:
En las «Ternas pitagóricas de Platón» la hipotenusa y uno de los catetos se diferencian en dos unidades.
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El Teorema de Pitágoras en la vida diaria
Teorema: dado un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa h (el lado opuesto al ángulo recto). Entonces, Recordemos que:
El triángulo es rectángulo porque tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados ó π / 2 radianes. La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto Nota: h siempre es mayor que los dos catetos, es decir, h > a y h > b. El teorema de Pitágoras es uno de los resultados más conocidos de las matemáticas y también uno de los más antiguos. Existen cientos de demostraciones de este resultado. La pirámide de Kefrén (siglo XXVI a. C.) fue construida en base al llamado triángulo sagrado egipcio, que es el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5. La comprensión del teorema es sencilla y tiene muchas aplicaciones en la vida cotidiana, como veremos en la siguiente página:
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Arquitectura y construcción Dadas dos líneas rectas, el teorema de Pitágoras permite calcular la longitud de la diagonal que las conecta. Esta aplicación se usa con frecuencia en arquitectura, carpintería u otros proyectos de construcción. Por ejemplo, supongamos que estás construyendo un tejado inclinado. Si conoces la altura del tejado y la longitud que debe cubrir, puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud diagonal de la pendiente del tejado. Puedes usar esta información para cortar vigas del tamaño adecuado para soportar el techo, o calcular el área del techo que necesitarías para las tejas. Disposición de ángulos cuadrados El teorema de Pitágoras también se usa en la construcción para asegurarse de que los edificios sean cuadrados. Un triángulo cuyas longitudes laterales correspondan con el Teorema de Pitágoras, como un triángulo de 3 metros por 4 metros por 5 metros, siempre será un triángulo rectángulo (por cierto, a todo triángulo con estas medidas se le llama triángulo mágico desde la antigüedad). Al colocar una base o construir una esquina cuadrada entre dos paredes, los trabajadores de la construcción establecerán un triángulo a partir de tres cuerdas que correspondan con estas longitudes. Si las longitudes de las cuerdas se midieron correctamente, la esquina opuesta a la hipotenusa del triángulo será un ángulo recto, por lo que los constructores sabrán que están construyendo sus paredes o cimientos en las líneas correctas.
Navegación El teorema de Pitágoras es útil para la navegación bidimensional. Puedes usarlo para encontrar la distancia más corta. Por ejemplo, si estás en el mar y navegas hacia un punto que está a 300 kilómetros al norte y 400 kilómetros al oeste, puedes usar el teorema para encontrar la distancia desde tu barco hasta ese punto y calcular cuántos grados al oeste del norte necesitas seguir para llegar a ese punto. Las distancias al norte y al oeste serán las dos patas del triángulo, y la línea más corta que las conecte será la diagonal. Se pueden usar los mismos principios para la navegación aérea. Por ejemplo, un avión puede usar su altura sobre el suelo y su distancia desde el aeropuerto de destino para encontrar el lugar correcto para comenzar un descenso a ese aeropuerto. 12
Topografía La topografía es la técnica que consiste en describir y representar en un plano la superficie o el relieve de un terreno. Debido a que el terreno es a menudo irregular, los topógrafos deben encontrar formas de tomar medidas de distancia de manera sistemática. El teorema de Pitágoras se usa para calcular la inclinación de las laderas de colinas o montañas. Un topógrafo mira a través de un telescopio (teodolito) hacia un palo de medición (piquetes) a una distancia fija, de modo que la línea de visión del telescopio y el palo de medición forman un ángulo recto. Como el topógrafo conoce tanto la altura del palo de medición como la distancia horizontal del palo desde el telescopio, puede usar el teorema para encontrar la longitud de la pendiente que cubre esa distancia y, a partir de esa longitud, determinar la inclinación.
Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5 metros de longitud. Si la distancia desde la parte más alta del árbol al extremo más alejado de la sombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol?
Imaginamos un triángulo rectángulo de modo que su base, b, es la sombra del árbol, su altura, a, es la altura del árbol y su hipotenusa, h, es la distancia desde el árbol al extremo de la sombra.
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El árbol mide 3,12 mts
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