los números mayas Sistémas numéricos y

José de Jesús Villa Hernández jvillah@uaz.edu.mx

Adscripción: Doctorado en Ciencias de la Ingeniería, Unidad Académica de Ingeniería Eléctrica. Universidad Autónoma de Zacatecas. LGACs que trabaja: Óptica y Procesamiento de Imágenes. Visión Computacional.

Gerardo Miramontes de León gmiram2002@yahoo.com

Adscripción: Profesor-Investigador jubilado, Unidad Académica de Ingeniería Eléctrica. Universidad Autónoma de Zacatecas

Introducción

Los números nos sirven para cosas tan simples como representar cantidades en la vida diaria, y hasta para realizar cálculos de gran complejidad en la ciencia y la tecnología. La mayoría de nosotros estamos acostumbrados al sistema numérico decimal, basado en diez símbolos (dígitos). Pero, ¿sabías que existen otros sistemas numéricos, que se basan en una cantidad diferente de símbolos? Tales son los casos de los sistemas binario y hexadecimal, que son clave en la tecnología digital, y el sistema vigesimal, usado por nuestros antepasados Mayas. En este artículo explicamos algunos sistemas numéricos y experimentamos con ellos haciendo conversiones a decimal y viceversa.

Un sistema numérico es un conjunto ordenado de símbolos con reglas para combinarlos y así representar cantidades numéricas [1]. Se le llama base a la cantidad de símbolos que forma el sistema numérico (Ver tabla).

valor del número representado con dicha combinación. Por ejemplo, el conjunto “568”, ordenado así, tiene el valor:

56810=5·102+6·101+8·100, donde 102=100, 101=10 y 100=1. Colocamos el subíndice 10 en 568, solo para indicar la base numérica.

Notemos dos cosas fundamentales, que se aplican también con otros sistemas numéricos: (1) El factor “diez” representa la base del sistema numérico. (2) Los valores de los exponentes comienzan en “cero” (de derecha a izquierda).

Conversión de otra base a decimal. Para conocer el valor en decimal de un número representado en algún otro sistema numérico, se usa el razonamiento antes descrito.

En general, si por ejemplo combinamos tres símbolos, llamémosles, X, Y y Z, de un sistema numérico cuya base es b, entonces

XYZb =X·b2+Y·b1+Z·b0

El lado izquierdo de la ecuación es el número representado en base b, mientras que en el lado derecho están las operaciones a realizar para encontrar su valor en el sistema decimal. Este solo es un ejemplo con tres símbolos, pero el razonamiento es el mismo si se tienen más símbolos.

Conversión de decimal a otra base. Para convertir un número decimal a su correspondiente en base b, podemos usar el método de divisiones sucesivas. Se va dividiendo el número decimal por b, anotando los residuos, hasta obtener un cociente igual a cero. Al posicionar los residuos en orden inverso, obtenemos el número en base b. Si suponemos el número N en decimal que queremos convertir a su correspondiente en base b, entonces, obtenemos los cocientes y residuos de las divisiones sucesivas:

En el sistema numérico base 16 (Hexadecimal), los símbolos literales tienen los siguientes valores en decimal: A=10, B=11,..., F=15.

En base decimal, cuando combinamos sus símbolos para representar cantidades grandes, a cada uno de ellos se le da un valor diferente, dependiendo de su posición: ordenados de derecha a izquierda, el valor de cada símbolo se multiplica por “diez” elevado a una potencia que se incrementa en ese orden (Unidades, decenas, centenas, etc.). La suma total de los valores de los símbolos es el

En este proceso, los cocientes son C1 , C2,...,C n, mientras que los residuos son R1 , R2,...,R n. El proceso se detiene cuando el cociente obtenido es cero, es decir, C n=0. Así, el número en base b es R n ···R2 R1

Los números mayas

Los Mayas usaban un sistema vigesimal (veinte símbolos) [2]. Cada símbolo se construye con puntos y líneas, que valen uno y cinco, respectivamente; mientras que el cero se representa con una concha o caracol (Figura 1). Diferente a cómo construimos números grandes en decimal, los símbolos Mayas se colocan uno sobre otro, siendo los de las posiciones superiores los de valor más significativo.

Por supuesto, los métodos para convertir del sistema Maya a decimal y viceversa, son los mismos que hemos descrito aquí.

Experimentos

Experimentaremos convirtiendo números de otra base a decimal. Convertiremos 2135 (base cinco), 11012 (Binario) y DB316 (Hexadecimal). Las siguientes son las operaciones y sus resultados:

2135 = 2·52 + 1·51 + 3·50 = 5810

11012 = 1·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 = 1310

DB316 = 13·162 + 11·161 + 3·160 = 350710

Cuando se convierte de hexadecial a decimal, en las operaciones se usa el número decimal correspondiente al símbolo literal. En el último ejemplo, se usan los números 13 y 11, correspondientes a D y B, respectivamente.

Ahora mostramos un ejemplo de conversión de número Maya (Figura 2) a decimal.

340710 a hexadecimal:

Ya que en este ejemplo los símbolos mayas corresponden, en orden descendente, a los números 3, 0 y 14 en decimal, las siguientes son las operaciones para la conversión a decimal:

3·202 + 0·201 + 14·200 = 121410

Con el fin de comprobar los resultados de los ejemplos anteriores, a la vez de que se practica la conversión de decimal a otro sistema numérico, mostramos las siguientes conversiones.

5810 a base 5:

Acomodando los residuos en orden inverso, obtenemos 2135

1310 a binario:

Ya que B16 = 1110 y D16 = 1310, obtenemos DB316

121410 a Maya:

Representamos los residuos 14, 0 y 3 con los símbolos Mayas correspondientes y obtenemos el número que se muestra en la Figura 2.

Aplicando lo que ahora sabes, te invitamos a comprobar la equivalencia de los siguientes números representados en diferentes sistemas numéricos.

349210 = 66448

CAF16 = 5195410

5410 = 1101102

Hemos explicado algunos sistemas numéricos diferentes al decimal, además de cómo convertir números de otro sistema a decimal y viceversa. Los sistemas vistos aquí son del tipo posicional, es decir, el valor de los símbolos que se usan para construir números depende de su posición; caso diferente a los sistemas no-posicionales, como el sistema numérico romano.

Como se puede deducir fácilmente, cuanto más grande es la base, se pueden representar números más grandes con menos símbolos, como es el caso del sistema Maya.

Los Mayas también usaban otros símbolos para su sistema de numeración, los llamados cefalomorfos, que eran cabezas de divinidades; sin embargo, eran menos usados por la mayoría de los pueblos que conformaban su cultura.

Puede creerse que los sistemas numéricos no tienen aplicaciones reales. Sin embargo, como ejemplos, el sistema numérico binario es el que usan internamente las computadoras digitales, debido a que estas trabajan en dos niveles de voltaje, que pueden representarse mediante 0 y 1. Por otro lado, el sistema Hexadecimal era muy usado en lenguajes de programación nativos de computadoras (lenguaje de máquina). Esto es debido a la estrecha relación con el sistema binario ya que con cuatro símbolos binarios se pueden representar hasta dieciséis números, lo que coincide con la cantidad de símbolos en hexadecimal.

Referencias

Obtenemos 11012