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La siguiente figura 1a muestra el campo eléctrico asociado a una barra aislante que tiene cantidades iguales de carga positiva y negativa situadas en los extremos opuestos.

Éste constituye un ejemplo de dipolo eléctrico.

En este nivel, los casos eléctrico y magnético son muy similares.

De hecho, podríamos ser llevados a postular la existencia de polos magnéticos individuales análogos a las cargas eléctricas; tales polos, si existiesen, producirían campos magnéticos (semejantes a los campos eléctricos producidos por las cargas) proporcionales a la intensidad de los polos e inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia desde el polo. Como veremos, esta hipótesis no concuerda con el experimento.

Este efecto ocurre microscópicamente, hasta el nivel de cada átomo. Como lo veremos en la sección siguiente, cada átomo se comporta como un dipolo magnético que tiene un polo norte y un polo sur, y hasta donde todavía sabemos, el dipolo, y no el solo polo aislado, parece ser la unidad fundamental más pequeña de la estructura magnética.

 La figura 3 muestra una representación más detallada de los campos magnéticos de una barra imantada y de un solenoide, ambos de los cuales pueden ser considerados como dipolos magnéticos.

Nótese en la figura 3a que las líneas de B entran a la superficie gaussiana en el interior del imán y salen de ella en el exterior del mismo. El flujo total hacia adentro es igual al flujo total hacia afuera, y el flujo neto FB, para la superficie es cero. Lo mismo es cierto para la superficie gaussiana que atraviesa al solenoide mostrado en la figura 3b. En ningún caso existe un solo punto del cual se originen las líneas de B o al cual converjan; esto es, no existe ninguna carga magnética aislada.

 Monopolos Magnéticos

Estas teorías predicen la existencia de monopolos magnéticos extremadamente masivos, de aproximadamente 1016 veces la masa del protón. Es en efecto demasiado masivo para producirlo en cualquier acelerador en la Tierra; de hecho, las únicas condiciones conocidas bajo las cuales podrían obtenerse tales monopolos serían en la caliente y densa materia del universo temprano. La búsqueda de los monopolos magnéticos continúa, pero hasta ahora no se ha obtenido una evidencia convincente de su existencia. Por el momento, suponemos o bien que los monopolos no existen, de modo que la ecuación 2 es exacta y universalmente válida, o bien que, si existen, son tan excesivamente raros que la ecuación 2 es una aproximación altamente precisa. La ecuación 2 asume, entonces, un papel fundamental como descripción del comportamiento de los campos magnéticos en la naturaleza, y constituye una de las cuatro ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo.

• Magnetismo atómico y nuclear

Las diferencias en el comportamiento microscópico entre los campos eléctricos y magnéticos pueden apreciarse mejor observando la estructura atómica y nuclear fundamental que produce los campos.

Consideremos el medio dieléctrico El medio consta de dipolos eléctricos que están alineados dentro de un campo eléctrico externo. Estos dipolos producen un campo eléctrico inducido en el medio. Si cortamos al medio en dos, suponiendo que no cortemos a ninguno de los dipolos, obtenemos dos medios dieléctricos semejantes; cada uno tiene una carga positiva inducida en un extremo y una carga negativa inducida en el otro extremo. Podemos seguir dividiendo al material hasta alcanzar el nivel de un solo átomo o molécula, el o la cual tiene una carga negativa en un extremo y una carga positiva en el otro extremo.

Con un corte final podemos dividir y separar las cargas positiva y negativa.
El medio magnético parece comportarse microscópicamente de modo semejante. La figura 4 representa a un medio magnético como una colección de dipolos magnéticos. Si cortamos al medio en dos sin cortar a ninguno de los dipolos, cada una de las dos mitades tiene un polo norte en un extremo y un polo sur en el otro. Podemos continuar cortando únicamente hasta que lleguemos al nivel de un solo átomo. Aquí descubriremos que el dipolo magnético consta no de dos cargas individuales y opuestas, como en el caso eléctrico, sino más bien es una diminuta espira de corriente, en donde la corriente corresponde, por ejemplo, a la circulación del electrón en el átomo. Del mismo modo que en el caso de los anillos o espiras de corriente considerados en el capítulo 8, la corriente atómica tiene un momento dipolar magnético asociado. No existe manera de dividir a este dipolo en polos separados, de modo que el dipolo es la unidad fundamental más pequeña del magnetismo.

  Magnetismo Nuclear

El núcleo, que está compuesto de protones y neutrones en un movimiento orbital bajo la influencia de sus fuerzas mutuas, tiene un momento magnético con dos partes: una parte orbital, debida al movimiento de los protones (los neutrones, por no tener carga, no contribuyen al momento magnético orbital, aunque pueden tener un ímpetu angular orbital), y una parte intrínseca, debida a los momentos magnéticos intrínsecos de los protones y de los neutrones. (Puede parecer sorprendente que el neutrón sin carga tenga un momento magnético intrínseco distinto de cero. Si el neutrón fuese realmente una partícula elemental sin una carga eléctrica, no tendría, en efecto, un momento dipolar magnético. El momento dipolar magnético distinto de cero del neutrón nos da una pista sobre su estructura interna y puede explicarse bastante bien al considerar que el neutrón está compuesto de tres quarks cargados.)

Los núcleos tienen momentos dipolares magnéticos orbital y de espín que pueden expresarse en la forma de las ecuaciones 7 y 10. Sin embargo, la masa que aparece en estas ecuaciones (la masa del electrón) debe ser reemplazada por la masa de un protón o de un neutrón, que es de unas 1800 veces la masa del electrón. Los momentos dipolares magnéticos nucleares típicos son menores que los momentos dipolares atómicos por un factor del orden de 10-3, y su contribución a las propiedades magnéticas de los materiales es generalmente insignificante.

Los efectos del magnetismo nuclear son importantes en el caso de la resonancia magnética nuclear, en donde el núcleo está sometido a la radiación electromagnética de una frecuencia precisamente definida, y que corresponde a la necesaria para causar que el momento magnético nuclear cambie de dirección. Podemos alinear los momentos magnéticos nucleares en una muestra de material por medio de un campo magnético estático; la dirección de los dipolos se invierte cuando absorben la radiación electromagnética variable con el tiempo. La absorción de esta radiación puede detectarse fácilmente. Este efecto es la base de la formación de imágenes por resonancia magnética (MRI), una técnica de diagnóstico en que pueden obtenerse imágenes de los órganos del cuerpo usando una radiación mucho menos peligrosa para el organismo humano que los rayos X (Fig. 5).

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El estado magnético de una sustancia se describe por medio de una cantidad denominada vector de magnetización, M. La magnitud del vector de magnetización es igual al momento magnético por unidad de volumen de la sustancia. Como tal vez usted esperaba, el campo magnético total en una sustancia depende tanto del campo(externo) aplicado como de la magnetización de la sustancia.

Considerando una región donde existe un campo magnético producido por un conductor por el que circula corriente. Si llenamos esa región con sustancia magnética, el campo magnético total B en esa región es donde es el campo producido por la sustancia magnética. Esta contribución puede expresarse en términos del vector de magnetización como por tanto, el campo magnético total en región se convierte en

Conviene introducir una cantidad de campo H, llamada la intensidad de campo magnético. Esta cantidad vectorial se define por medio de la relación , o

En unidades del SI, las dimensiones tanto de H como de M son amperes por metro.

Para entender mejor estas expresiones, considere la región dentro del espacio encerrado por un toroide que conduce una corriente I. (llamaremos a este espacio el núcleo del toroide) si este espacio es un vacío, entonces y . Puesto que en el núcleo, donde n es el número de vueltas por unidad de longitud del toroide, entonces

H = nI

Esto es, la intensidad de campo magnético en el núcleo del toroide se debe a la corriente en sus devanados.

Si el núcleo del toroide se llena ahora con alguna sustancia y la corriente I se mantiene constante, entonces H dentro de la sustancia permanece invariable y tiene la magnitud nI. Esto se debe a que la intensidad de campo magnético H es consecuencia exclusivamente de la corriente en el toroide. El campo total B, sin embargo, cambia cuando se introduce la sustancia. De acuerdo con la ecuación

• Materiales Magnéticos

Ahora estamos en posición de entender algunas características de los tres tipos de materiales magnéticos. Como lo veremos, estas clasificaciones dependen, en parte, de los momentos dipolares magnéticos de los átomos del material y en parte de las interacciones entre los átomos.

Los átomos tienen momentos dipolares magnéticos debido al movimiento de los electrones y debido al momento dipolar magnético intrínseco asociado al espín de los electrones.

De acuerdo con el comportamiento de sus momentos magnéticos en un campo magnético externo:

Ocurre en materiales cuyos átomos tienen momentos dipolares magnéticos permanentes; no hay diferencia si estos momentos dipolares son del tipo orbital o del tipo de espín.

Nace del alineamiento parcial de los momentos magnéticos moleculares (mm) en presencia de un

Campo magnético externo. Los mm están en estado normal orientados al azar. Y en presencia del campo magnético externo los dipolos se alinean parcialmente en la dirección del campo, produciéndose un aumento total del campo. A temperaturas ordinarias y con campos externos normales, sólo una fracción muy pequeña se orienta con el campo, por consiguiente el aumento del campo es muy pequeño.

El ferromagnetismo, al igual que el paramagnetismo, se presenta en materiales en los que los átomos tienen momentos dipolares magnéticos permanentes. Lo que distingue a los materiales ferromagnéticos de los materiales paramagnéticos es que, en los materiales ferromagnéticos, existe una fuerte interacción entre los momentos dipolares atómicos vecinos que los mantiene alineados incluso cuando se suprime el campo magnético externo.

El que esto ocurra o no depende de la intensidad de los dipolos atómicos y también, puesto que el campo del dipolo cambia con la distancia, de la separación entre los átomos del material. Ciertos átomos podrían ser ferromagnéticos en una clase de material pero no en otra, porque su espaciamiento es diferente. Los materiales ferromagnéticos más comunes a la temperatura ambiente incluyen a los elementos hierro, cobalto y níquel. Los elementos ferromagnéticos menos comunes, alguno de los cuales muestran su ferromagnetismo sólo a temperaturas mucho menores que la temperatura ambiente, son los elementos de las tierras raras, como el gadolinio y el disprosio. También pueden ser ferromagnéticos los compuestos y las aleaciones, por ejemplo, el CrO2, el ingrediente básico de las cintas magnéticas, es ferromagnético aunque, ninguno de los elementos, cromo u oxígeno, es ferromagnético a temperatura ambiente.

Podemos disminuir la efectividad del acoplamiento entre átomos vecinos que causa el ferromagnetismo al aumentar la temperatura de una sustancia. A la temperatura a la cual un material ferromagnético se vuelve paramagnético se le denomina temperatura Curie. La temperatura Curie del hierro, por ejemplo, es de 770oC; arriba de esta temperatura, el hierro es paramagnético. La temperatura Curie del metal gadolinio es de 16oC; a la temperatura ambiente, el gadolinio es paramagnético, mientras que a temperaturas por debajo de los 16oC, el gadolinio se vuelve ferromagnético.

En 1847, Michael Faraday descubrió que una muestra de bismuto era repelida por un imán potente. A tales sustancias las llamó diamagnéticas. (Por el contrario, las sustancias paramagnéticas son atraídas siempre por un imán.) El diamagnetismo se presenta en todos los materiales. Sin embargo, generalmente es un efecto mucho más débil que el paramagnetismo y, por lo tanto, puede observarse más fácilmente sólo en materiales que no sean paramagnéticos. Tales materiales podrían ser aquellos que tienen momentos dipolares magnéticos atómicos de valor cero, originándose quizás de átomos que tienen varios electrones con sus momentos magnéticos orbital y de espín que al sumarse vectorialmente dan un valor de cero.

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El diarnagnetismo es análogo al efecto de los campos eléctricos inducidos en la electrostática. Un trozo de material no cargado, como el papel, es atraído hacia una barra cargada de cualquier polaridad. Las moléculas del papel no tienen momentos dipolares eléctricos permanentes pero adquieren momentos dipolares inducidos por la acción del campo eléctrico, y estos momentos inducidos pueden entonces ser atraídos por el campo (véase la Fig. 14 del capítulo 5).

En los materiales diamagnéticos, los átomos que no tienen momentos dipolares magnéticos permanentes adquieren momentos dipolares inducidos cuando están situados dentro de un campo magnético externo. Consideremos que los electrones que giran en un átomo se comporten como espiras de corriente. Cuando se aplica un campo externo B0, el flujo a través del anillo cambia. Según la ley de Lenz, el movimiento debe cambiar de manera tal que un campo inducido se oponga a este aumento en el flujo. Un cálculo basado en las órbitas circulares demuestra que el cambio en el movimiento se logra con un ligero aumento o disminución de la velocidad del movimiento orbital, de modo que la frecuencia circular asociada con el movimiento orbital cambia según

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donde B0, es la magnitud del campo aplicado y m es la masa del electrón. Este cambio en la frecuencia orbital cambia en efecto el momento magnético orbital de un electrón (véase la Ec. 5).

Si quisiéramos traer un solo átomo de un material como el bismuto cerca del polo norte de un imán, el campo (que apunta alejándose del polo) tiende a aumentar el flujo a través de la espira de corriente que representa al electrón circulando. De acuerdo con la ley de Lenz, debe haber un campo inducido apuntando en la dirección opuesta (hacia el polo). El polo norte inducido está en el lado de la espira hacia el imán, y los dos polos norte se repelen entre sí.

Este efecto ocurre sin importar cuál sea el sentido de la rotación de la órbita original, de modo que, en un material diamagnético, la magnetización se opone al campo aplicado. La razón de la contribución a la magnetización del campo m0 M al campo aplicado B0, dado por km – 1 de acuerdo con la ecuación 16, llega a estar entre -10-6 y -10-5 para materiales diamagnéticos típicos. La tabla 3 muestra algunos materiales diamagnéticos y sus constantes de permeabilidad.

El campo de la Tierra puede considerarse aproximadamente como el de un dipolo magnético, con momento m = 8.0 x 1022 J/T. El campo en la superficie tiene una magnitud que va desde unos 30, mT cerca del Ecuador hasta unos 60 mT cerca de los Polos. (Para un dipolo, esperamos que el campo magnético en el eje sea el doble del campo a la misma distancia a lo largo de la bisectriz; véase la tabla 1 del capítulo 9.) El eje del dipolo forma un ángulo de unos 11.5o con el eje de rotación de la Tierra (que a su vez forma un ángulo de 23.5o con la normal al plano de la órbita de la Tierra con respecto al Sol, como se muestra en la Fig. 11.

Lo que comúnmente llamamos el polo norte magnético, el cual se ubica al norte de Canadá, es de hecho el polo sur del dipolo Tierra, como lo hemos definido con la convergencia de las líneas del campo magnético. El polo sur magnético, que se localiza en la Antártida, está representado por el polo norte de un dipolo, porque las líneas de B salen de él. Dicho de otra manera, cuando usamos una brújula magnética para indicar la dirección del extremo de la brújula que apunta hacia el norte es un polo norte verdadero del imán suspendido en la brújula; es atraído hacia un polo sur verdadero, el cual está cerca del polo norte geográfico de la Tierra.

El campo magnético de la Tierra tiene una importancia práctica no solamente en la navegación sino también en el levantamiento topográfico y en las comunicaciones. Por lo tanto ha sido extensamente estudiado durante muchos años, en la superficie midiendo su magnitud y dirección y más arriba de su superficie usando satélites en órbita. Entre sus otros efectos están los cinturones de radiación de Van Allen que rodean a la Tierra (véase la Fig. 15 del capítulo y las llamadas "auroras boreales", el espléndido espectáculo de la aurora (Fig. 12).

Puesto que encontramos rocas magnetizadas en el suelo, surgiría, quizás, la inclinación a imaginar la existencia de un núcleo de rocas magnetizadas permanentemente como la fuente del campo magnético de la Tierra. Sin embargo, esto no puede ser así, porque la temperatura del núcleo es de varios miles de grados, muy por encima de la temperatura Curie del hierro. Por lo tanto, el hierro que hay en el núcleo de la Tierra no puede ser ferromagnético.

Además, de las mediciones realizadas desde hace unos pocos siglos sabernos que el polo norte magnético se desplaza en relación con el polo norte geográfico, y sabemos por los registros geológicos que los polos se invierten en una escala de tiempo de varios cientos de miles de años. (Además, como lo veremos más adelante, algunos planetas del sistema solar que tienen composiciones similares a la de la Tierra no tienen campo magnético, mientras que otros planetas que ciertamente no contienen material magnético tienen campos muy grandes.) Tales observaciones son difíciles de explicar basándose en la hipótesis de un núcleo permanentemente magnetizado.

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La fuente exacta del magnetismo de la Tierra no está del todo comprendida, pero probablemente implica cierta clase de efecto de dínamo. La parte exterior del núcleo contiene minerales en estado líquido, que conducen la electricidad fácilmente. Un pequeño campo magnético inicial provoca que fluyan corrientes en este conductor en movimiento, según la ley de la inducción de Faraday. Estas corrientes pueden acrecentar el campo magnético y este campo acrecentado es lo que observarnos como el campo de la Tierra. Sin embargo, sabemos por nuestro estudio de la inducción que un conductor que se mueva dentro de un campo magnético experimenta una fuerza de frenado. La fuente de energía necesaria para vencer a la fuerza de frenado y mantener al núcleo en movimiento no ha podido todavía comprenderse.

La Tierra contiene un registro de cambios tanto en la dirección como en la magnitud del campo. Por ejemplo, las muestras de alfarería antigua contienen diminutas partículas de hierro, que resultaron magnetizadas en el campo de la Tierra conforme la alfarería fue enfriándose después de su cocción. De la intensidad de la magnetización de las partículas, podemos deducir la intensidad del campo de la Tierra en el tiempo y lugar de la cocción. Un registro geológico de origen similar se conserva en el fondo oceánico (Fig. 13).

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Cuando el magma fundido brota de una grieta submarina y se solidifica, las partículas de hierro resultan magnetizadas. La dirección de la magnetización de las partículas muestra la dirección del campo de la Tierra. De los patrones de magnetización podernos deducir que los polos de la Tierra se han invertido con mucha regularidad a lo largo de la historia geológica. Esta inversión ocurre cada 100,000 a 1,000,000 de años y ha sido más frecuente en tiempos recientes. Las razones de estas inversiones y su velocidad creciente no se conocen, peto presumiblemente implican el efecto de dínamo de alguna manera.

Conforme nos alejamos de la Tierra, su campo disminuye, y comenzamos a observar modificaciones como consecuencia del viento solar, una corriente de partículas cargadas que llegan del Sol (Fig. 14). Como resultado, una larga cola asociada al campo de la Tierra se extiende a lo largo de muchos miles de diámetros terrestres. Puesto que el Sol tiene un efecto tan grande sobre el campo magnético de la Tierra, aun a distancias de unos cuantos radios terrestres, puede influir en los fenómenos en los que intervienen el campo de la Tierra, como la comunicación por radio y la aurora.

En los últimos años, las sondas del espacio interplanetario han hecho posible la medición de la dirección y magnitud de los campos magnéticos de los planetas. Estas observaciones apoyan la teoría del mecanismo de dínamo como la fuente de estos campos. La tabla 4 muestra valores de los momentos dipolares magnéticos y los campos magnéticos en la superficie de los planetas.

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Venus, cuyo núcleo es similar al de la Tierra, no tiene un campo porque su rotación es demasiado lenta (una cada 244 días terrestres) para sostener el efecto de dínamo. Marte, cuyo periodo de rotación es casi el mismo que el de la Tierra, no tiene un campo porque su núcleo es presumiblemente demasiado pequeño, un hecho deducido de la medición de la densidad media de Marte. Los planetas exteriores (Júpiter y más allá) están compuestos en su mayoría de hidrógeno y helio, los que ordinariamente no se cree que sean magnéticos; sin embargo, a las altas presiones y temperaturas cerca del centro de estos planetas, el hidrógeno y el helio pueden comportarse como los metales, mostrando en particular una gran conductividad eléctrica y permitiendo el efecto de dinamo.

La figura 15 muestra el alineamiento del eje de rotación y del eje del campo magnético de Júpiter y de Urano; compárense con la Tierra que se muestra en la figura 11. Nótese que el eje de rotación de Urano es casi paralelo al plano de su órbita, al contrario de los demás planetas. Nótese también que el eje magnético de Urano está muy desalineado con su eje de rotación y que el dipolo está desplazado del centro del planeta.

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Se llama inductancia al campo magnético que crea una corriente eléctrica al pasar a través de una bobina de hilo conductor enrollado alrededor de la misma que conforma un inductor. Un inductor puede utilizarse para diferenciar señales cambiantes rápidas o lentas.

La inductancia depende de las características físicas del conductor y de la longitud del mismo. Si se enrolla un conductor, la inductancia aumenta. Con muchas espiras (vueltas) se tendrá más inductancia que con pocas. Además, si un arrollamiento se coloca alrededor de un núcleo de hierro, su inductancia será mayor de lo que era sin el núcleo magnético.

La polaridad de una FEM (Fuerza Electro Motriz) inducida va siempre en el sentido de oponerse a cualquier cambio en la corriente del circuito. Esto significa que cuando la corriente en el circuito aumenta, se realiza trabajo contra la FEM inducida almacenando energía en el campo magnético. Si la corriente en el circuito tiende a descender, la energía almacenada en el campo vuelve al circuito, y por tanto se suma a la energía suministrada por la fuente de FEM. Esto tiende a mantener a la corriente circulando incluso cuando la FEM aplicada pueda descender o ser retirada.

La energía almacenada en el campo magnético de un inductor se calcula según la siguiente formula:

Siendo:

W = energía en Julios
I = corriente en Amperios
L = inductancia en Henrios

La unidad de inductancia es el Henrio

Cualquier conductor tiene inductancia, incluso cuando el conductor no forma una bobina. La inductancia de una pequeña longitud de hilo recto es pequeña, pero no despreciable si la corriente a través de él cambia rápidamente, la tensión inducida puede ser apreciable. Este puede ser el caso de incluso unas pocas pulgadas de hilo cuando circula una corriente de 100 MHz o más. Sin embargo, a frecuencias mucho mas bajas la inductancia del mismo hilo puede ser despreciable, ya que le tensión inducida será despreciablemente pequeña.

Apliquemos la ecuación

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para calcular L para una sección de longitud l de un solenoide largo con área de sec-ción transversal A; suponemos que la sección está cerca del centro del solenoide de modo que no necesitan considerarse los efectos de los bordes o extremos. En el capítulo 9 se demostró que el campo magnético B dentro de un solenoide que conduce una corriente i es

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donde n es el número de espiras por unidad de longitud.
El número de eslabones (o enlaces) del flujo en la longitud es

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lo cual, después de sustituir a B, nos da

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La ecuación 6 da entonces la inductancia directamente:

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La inductancia por unidad de longitud del solenoide puede escribirse como

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Esta expresión contiene sólo factores geométricos el área de sección transversal y el número de espiras por unidad de longitud. La proporcionalidad con n2 es la esperada; si duplicamos el número de espiras por unidad de longitud, no sólo se duplica el número N de espiras, sino que el flujo a través de cada espira se duplica, y el número de eslabones o enlaces del flujo aumenta según un factor de 4, como en el caso de la inductancia.
Las ecuaciones 9 y 10 son válidas para un solenoide de longitud mucho mayor que su radio. Hemos despreciado el esparcimiento de las líneas del campo magnético cerca del extremo de un solenoide, al igual que hemos despre-ciado el efecto de borde del campo eléctrico cerca de los extremos de las placas de un capacitor.

Calcularemos ahora la inductancia de un toroide de sección transversal rectangular, como se muestra en la figura 3. El campo magnético B de un toroide se expresó por la ecuación 23 del capítulo 9,

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donde N es el número total de espiras en el toroide. Nótese que el campo magnético no es constante dentro del toroide sino que varía con el radio r.

El flujo a través de la sección transversal del toroide es

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donde h dr es el área de la laminilla o tira elemental entre las líneas de trazos que se muestran en la figura 3. La inductancia puede entonces determinarse directamente de la ecuación 6:

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Una vez más, L depende sólo de factores geométricos.

hemos demostrado que la capacitancia C de un capacitor lleno con una sustancia dieléctrica aumenta por un factor ke, la constante dieléctrica, relativo a la capacitancia Co cuando no hay un dieléctrico presente:

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Nos fue posible convertir las ecuaciones encontradas para los capacitores vacíos para explicar el caso con el dieléctrico reemplazando la constante de permitividad co por el producto kee0.

Cuando un campo magnético B0 actúa sobre una sustancia, el campo total B (incluyendo el campo aplicado B0 más el campo debido a los dipolos del material) puede escribirse

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como lo demostramos anteriormente. Aquí km es la constante de permeabilidad del material. Puesto que el campo aplicado B0 incluye el factor m0, podemos toman en cuenta el efecto del material magnético al reemplazar m0 por la cantidad kmm0, en analogía con la sustitución similar que se hizo en el caso de los capacitores que contienen dieléctricos.

En el caso de un inductor, el campo B0 aparecería en el inductor si no hubiese presente ningún material magnéti-co. El campo B aparece en el inductor cuando está lleno con material magnético. En la expresión para la inductancia, podemos explicar la presencia de un material magnético que llene al inductor sustituyendo m0 por kmm0 o, en analogía con la ecuación 13,

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donde L es la inductancia con el material magnético presente y L0 es la inductancia del inductor vacío. En-tonces, un solenoide lleno con una sustancia magnética de constante de permeabilidad km tiene una inductancia dada por

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la cual hallamos al sustituir m0 por kmm0 en la ecuación 9. Ya que las constantes de permeabilidad de las sustancias paramagnéticas o diamagnéticas no difieren sustancialmente de 1, las inductancias de los inductores llenos con tales sustancias son casi iguales a sus valores cuando están vacíos, y no se obtiene un cambio mayor en las propiedades del inductor al llenar el inductor con un material paramagnético o diamagnético. Sin embargo, en el caso de un material ferromagnético, pueden ocurrir cambios sustanciales. Si bien, la constante de permeabilidad no está definida en general para los materiales ferromagnéticos (porque el campo total no au-menta en proporción lineal con el campo aplicado), en circunstancias particulares B puede ser varios miles de veces B, Entonces, la constante de permeabilidad "efectiva" de un ferroimán puede tener valores del orden de 103 a 104, y la inductancia de un inductor lleno con material ferromagnético (esto es, aquel en el que los devanados están sobre un núcleo de un material como el hierro) puede ser mayor que la inductancia de un conjunto similar de devanados sobre un núcleo vacío por un factor de 103 a 104. Los núcleos ferromagnéticos propocionan el medio para obtener inductancias grandes, de igual manera que los materiales dieléctricos permiten obtener capacitancias grandes en los capacitores.

Podemos describir este circuito como cualquier circuito que contiene una bobina, como un solenoide, tiene una autoinductancia que evita que la corriente crezca o decrezca instantáneamente. Un elemento de circuito que tiene una gran inductancia se denomina inductor, símbolo de espiral horizontal. Suponemos siempre que la autoinductancia del resto del circuito es despreciable comparada con la del inductor.

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Angulo = O = Arctang (Vl / VR).

Y se puede calcular con ayuda de la siguiente fórmula:

                                  VS /0  
Impedancia = Z /0   =   -------------
                                 I /0)

Para obtener la magnitud de Z de dividen los valores de Vs e I

 Circuitos RL paralelo

VS = VR = VL

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Angulo O = Arctang (-IL / IR)

La impedancia (Z) se obtiene con ayuda de la siguiente fórmula

           Vs /0
Z /0 =  -------------
           It /0

Cómo se hace esto?

Para obtener la magnitud de Z dividen las magnitudes de Vs e It para obtener la magnitud de la impedancia

NOTA: lo que está incluido en paréntesis elevado a la 1/2, equivale a la raiz cuadrada

Cuando se levanta de la Tierra una piedra, el trabajo externo efectuado se almacena como energía potencial del sistema Tierra-piedra. Podemos ver a este proceso de separación de los dos objetos como un modo de almacenar energía en el campo gravitatorio. Cuando se suelta la piedra, la energía puede recuperarse en forma de energía cinética conforme la piedra se va acercando a la Tierra. De forma similar, el trabajo efectuado al separar dos cargas de signos diferentes se almacena en forma de energía del campo eléctrico de las cargas; esa energía puede recuperarse permitiendo que las cargas se junten.

Técnicamente considerarla energía almacenada en el campo (gravitatorio o eléctrico) que rodea a un cuerpo aislado, como la Tierra o una sola carga. Vemos a la energía almacenada en ese campo como representativa de la energía consumida para armar al cuerpo a partir de su masa constituyente o sus elementos de carga, suponiendo inicialmente que están en reposo y con separaciones infinitas.
La energía puede almacenarse en forma parecida en un campo magnético.

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Por ejemplo, considérense dos alambres paralelos, rígidos y largos, que conducen corriente en la misma dirección. Los alambres se atraen entre sí, y el trabajo efectuado para separarlos se almacena en el campo magnético que los rodea. Podemos recuperar esa energía magnética almacenada adicional dejando que los alambres regresen a sus posiciones originales.
También podemos ver a la energía como almacenada en el campo magnético de un alambre aislado, en analogía con la energía del campo eléctrico de una carga aislada. Antes de considerar este tema es útil, en general, considerar la energía almacenada en el campo magnético de un inductor, como presentamos al almacenamiento de la energía en un campo eléctrico en la sección 31-4 al considerar la energía almacenada en un capacitor.

Ahora encontraremos una expresión para la energía (la energía por unidad de volumen) uB en un campo magnético. Consideremos un solenoide muy largo de área de sección transversal A cuyo interior no contiene ningún material. Una porción de longitud l lejos de cualquier extremo encierra un volumen Al. La energía magnética almacenada en esta porción del solenoide debe estar por completo dentro de este volumen porque el campo magnético en el exterior del solenoide es esencialmente cero. Además, la energía almacenada debe estar distribuida uniformemente en todo el volumen del solenoide porque el campo magnético es uniforme en cual-quier parte del interior. Entonces, podemos escribir la densidad de energía como

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tenemos

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Para expresar esto en términos del campo magnético, podemos resolver la ecuación 7
(B = moin) para i y susti-tuirla en esta ecuación. También podemos sustituir a L usando la relación L = mon2lA (Ec. 9). Al hacerlo tenemos finalmente

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Esta ecuación da la densidad de energía almacenada en cualquier punto (en el vacío o en una sustancia no magnética) en donde el campo magnético es B. La ecuación se cumple para todas las configuraciones del campo magnético, aun cuando la dedujimos considerando un caso especial, el solenoide. La ecuación 32 debe compararse con la ecuación 28 del capítulo 31,

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la cual da la densidad de energía (en un vacío) en cualquier punto dentro de un campo eléctrico. Nótese que tanto uB como ut. son proporcionales al cuadrado de la cantidad de campo apropiada, B o E.
El solenoide desempeña, en los campos magnéticos, un papel semejante al del capacitor de placas paralelas en los campos eléctricos. En cada caso tenemos un dispositivo sencillo que puede usarse para generar un campo uniforme en una región del espacio bien definida y para deducir, de manera sencilla, las propiedades de estos campos.

Ahora volvemos al estudio de las propiedades de los circuitos que contienen tanto un capacitor C como un inductor L. Tal circuito forma un oscilador electromagnético, en donde la corriente varía senoidalmente con el tiempo, en forma parecida a como varía con el tiempo el desplazamiento de un oscilador mecánico. De hecho, como veremos, existen varias analogías entre los osciladores mecánicos y los electromagnéticos. Estas analogías nos ayudan a entender a los osciladores electromagnéticos basados en nuestro estudio previo de los osciladores mecánicos (capítulo 15).

Por el momento, suponemos que el circuito no incluye una resistencia. El circuito con resistencia, al cual consideramos en la sección 38-7, es análogo al oscilador amortiguado el cual lo consideramos en la sección 15-8. Suponemos también que no está presente en el circuito ninguna fuente de fem; los circuitos oscilatorios con una fem presente, los cuales consideraremos también en la sección 38-7, son análogos a los osciladores mecánicos forzados como ya vimos en la sección 15-9.
No estando presente ninguna fem, la energía en el circuito proviene de la energía almacenada inicialmente en uno o ambos de los componentes. Supongamos que el capacitor C se carga (a partir de alguna fuente externa la cual no nos interesa) de modo que contenga una carga qm, en cuyo momento se retira de la fuente externa y se conecta al inductor L. En la figura 9a se muestra el circuito LC. Al principio, la energía UF almacenada en el capacitor es mientras que la energía UB = zLi 2 almacenada en el inductor es inicialmente cero, porque la corriente es cero.
El capacitor comienza ahora a descargarse a través del inductor, moviéndose los portadores de carga positiva en sentido contrario a las manecillas del reloj, como se muestra en la figura 9b. Por el inductor fluye ahora una corriente i = dq/dt, aumentando su energía almacenada desde cero. A1 mismo tiempo, al descargarse el capacitor se reduce su energía almacenada. Si el circuito carece de resistencia, no se disipa ninguna energía, y la disminución de la energía almacenada en el capacitor se compensa exactamente con un aumento en la energía almacenada en el inductor, de modo que la energía total permanece constante. En efecto, el campo eléctrico disminuye y el campo magnético aumenta, transfiriéndose la energía del uno al otro.

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En el tiempo correspondiente a la figura 9c, el capacitor se ha descargado totalmente y la energía almacenada en el capacitor es cero. La corriente en el inductor ha alcanzado su valor máximo y toda la energía del circuito está almacenada en el campo magnético del inductor. Nótese que, aun cuando q = 0 en este instante, dq/dt difiere de cero porque está fluyendo carga.

La corriente en el inductor continúa transportando carga de la placa superior del capacitor hacia la placa inferior, como se muestra en la figura 9d; la energía fluye ahora desde el inductor de vuelta al capacitor a la vez que su campo eléctrico se acumula nuevamente. Finalmente (véase la Fig. 9e), toda la energía se transfiere de regreso al capacitor, el cual está ahora plenamente cargado pero en el sentido opuesto al de la figura 9a. La situación continúa ahora mientras el capacitor se descarga hasta que la energía haya regresado completamente al inductor, teniendo el campo magnético y la energía correspondiente sus valores máximos (Fig. 9g). Por último, la corriente en el inductor carga al capacitor una vez más hasta que el capacitor esté totalmente cargado y el circuito regresa a su condición inicial (Fig. 9a). El proceso comienza de nuevo, y el ciclo se repite indefinidamente. En ausencia de resistencia, la cual causaría que se disipara energía, la carga y la corriente regresan a sus mismos valores máximos en cada ciclo.
La oscilación del circuito LC ocurre con una frecuencia definida v (medida en Hz) correspondiente a una frecuen-cia angular cv (= 2nv y medida en red/s). Como analizaremos en la sección siguiente, co está determinada por L y C. Mediante elecciones apropiadas de L y C podemos construir circuitos oscilatorios con frecuencias que van desde abajo de las frecuencias de audio (10 Hz) hasta arriba de las frecuencias de las microondas (10 GHz). Para determinar la carga en función del tiempo, podemos medir la diferencia de potencial variable V, (t) que

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existe entre los extremos del capacitor C, la cual se relaciona con la carga q según

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Podemos determinar la corriente insertando en el circuito un resistor R tan pequeño que su efecto sobre el circuito sea despreciable. La diferencia de potencial VR(t) en R es proporcional a la corriente, de acuerdo con VR=iR. Si quisiéramos exhibir Vc (t) y VR (t), como por ejemplo en la pantalla de un osciloscopio, el resultado podría parecerse al mostrado en la figura 10.

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oscilatorio LC, se presentan dos clases de energía. Una es la energía potencial del resorte comprimido o estirado; la otra es la energía cinética del bloque al moverse. Estas se obtienen de las fórmulas familiares en la primera columna de la tabla 1. La tabla indica que un capacitor es en cierto modo como un resorte, un inductor es como un objeto masivo (el bloque), y ciertas cantidades electromagnéticas "corresponden" a ciertas propiedades mecánicas, es decir,

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La comparación de la figura 9, que muestra las oscilaciones de un circuito LC que carece de resistencia, con la figura 6 del capítulo 8, la cual muestra las oscilaciones en un sistema bloque-resorte carente de fricción, indica cuán cercana es la correspondencia entre ambas. Nótese cómo v e i corresponden en las dos figuras; también x y q. Nótese también cómo en cada caso la energía alterna entre dos formas, la magnética y la eléctrica para el sistema LC, y cinética y potencial para el sistema bloque-resorte.
En la sección 15-3 vimos que la frecuencia angular natural de un oscilador armónico simple mecánico es

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La correspondencia entre los dos sistemas sugiere que para determinar la frecuencia de oscilación de un circuito LC (sin resistencia), k debería ser reemplazada por 1/C y m por L, lo cual da

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Esta fórmula también puede deducirse a partir de un riguroso análisis de la oscilación electromagnética, como se muestra en la siguiente sección

Ahora deducimos una expresión para la frecuencia de oscilación de un circuito LC (sin resistencia) usando el principio de conservación de la energía.

La energía total U presente en cualquier instante en un circuito oscilatorio LC es

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lo cual indica que, en cualquier tiempo arbitrario, la energía se almacena parcialmente en el campo magnético del inductor, y parcialmente en el campo eléctrico del capacitor. Si suponemos que la resistencia del circuito es cero, no se disipa energía, y U permanece constante con el tiempo, aunque i y q varían. En lenguaje más formal, dUJdt debe ser cero. Esto conduce a

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Dejamos que q represente a la carga en una placa en particular del capacitor (por ejemplo, la placa superior en la Fig. 9), e i representa entonces la velocidad a la que la carga fluye dentro de esa placa (de modo que i > 0 cuando fluye carga positiva en la placa). En este caso

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y al sustituir en la ecuación 38 obtenemos

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La ecuación 39 describe las oscilaciones de un circuito LC (sin resistencia). Para resolverlo, notemos la semejanza de la ecuación 4 del capítulo 15,

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la cual describe la oscilación mecánica de una partícula en un resorte. Fundamentalmente, cuando se comparan estas dos ecuaciones es cuando surgen las correspondencias de la ecuación 35.
La solución de la ecuación 40 obtenida en el capítulo 15 era

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donde x,, es la amplitud del movimiento- y ¢ es una constante de fase arbitraria. Puesto que q corresponde a x, podemos escribir la solución de la ecuación 39 como

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donde co es todavía la desconocida frecuencia angular de las oscilaciones electromagnéticas.
Podemos probar si la ecuación 41 es realmente una solución de la ecuación 39 al sustituirla junto con su segunda derivada en aquella ecuación. Para hallar la segunda derivada, escribimos

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y

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al sustituir a q y d Iq/dt Z en la ecuación 39 nos da

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Cancelando a q„, cos (cvt + ¢) y reordenando llegamos a

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Así, si a w se le da el valor de 1J L , la ecuación 41 es realmente una solución de la ecuación 39. Esta expresión de ce concuerda con la ecuación 36, a la cual llegamos por la correspondencia entre las oscilaciones mecánicas y electromagnéticas.
La constante de fase 0 en la ecuación 41 está determinada por las condiciones en t = 0. Si la condición inicial es como se representó en la figura 9a, entonces ponemos 0 = 0 con objeto de que la ecuación 41 pueda predecir que q = q,. en t = 0. ¿Qué condición física inicial está implicada por 0 = 90°? ¿180°? ¿270°? ¿Cuáles de los estados mostrados en la figura 9 corresponden a estas elecciones de 0?
La energía eléctrica almacenada en el circuito LC, usando la ecuación 41, es

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y la energía magnética, usando la ecuación 42, es

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A1 sustituir co por la ecuación 44 en esta última ecuación da

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La figura 11 muestra gráficas de U, (t) y UB (t) para el caso de 0 = 0. Nótese que (1) los valores máximos de UE y UB son los mismos (= qm/2C); (2) la suma de UE y UB es una constante (= qm/2C); (3) cuando UE tiene su valor máximo, U,g es cero y viceversa; y (4) UB y UE alcanzan cada una su valor máximo dos veces durante cada ciclo. Este análisis apoya el análisis cualitativo de la sección 38-5. Compárese esta explicación con la presentada en la sección 15-4 para las transferencias de energía en un oscilador armónico simple mecánico.

En cualquier circuito LC real siempre está presente una resistencia R. Cuando tomamos en cuenta esta resistencia, hallamos que la energía electromagnética total U no es constante sino que disminuye, con el tiempo conforme se disipa como energía interna en el resistor. Como veremos, la analogía con el oscilador bloque-resorte amortiguado de la sección 15-8 es exacta. Como antes, tenemos

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U ya no es constante sino más bien

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significando el signo menos que la energía almacenada U disminuye con el tiempo, convirtiéndose en energía interna en el resistor con una velocidad de PR. A1 derivar la ecuación 47 y al combinar el resultado con la ecuación 48, tenemos

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Sise sustituye a i por dq/dt y a dildt por d Iq/dt 2 y al dividir entre i, obtenemos

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q- la cual describe las oscilaciones LC amortiguadas. Si R = 0, la ecuación 49 se reduce, como debe ser, a la ecuación 39, la cual describe las oscilaciones LC no amortiguadas.
Afirmamos sin demostrarlo que la solución general de la ecuación 49 puede escribirse en la

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Donde

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Usando las analogías de la ecuación 35, vemos que la ecuación 50 es la equivalente exacta de la ecuación 38 del capítulo 15, la ecuación para el desplazamiento en función del tiempo en el movimiento armónico simple amortigua-do. A1 comparar la ecuación 51 con la ecuación 39 del capítulo 15, vemos que la resistencia R corresponde a la constante de amortiguamiento b del oscilador mecánico amortiguado.
La figura 12 muestra la corriente en un circuito LC amortiguado en función del tiempo. (Compárese con la Fig. 19 del capítulo 15) La corriente oscila senoidalmente con una frecuencia co', y la amplitud de la corriente disminuye exponencialmente con el tiempo. La frecuencia co' es estrictamente menor que la frecuen-cia co (= 1/ C) de las oscilaciones no amortiguadas, pero en la mayoría de los casos de interés podemos poner co' = co con error despreciable.

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Consideremos un circuito LC amortiguado que contiene una resistencia R. Si el amortiguamiento es pequeño, el circuito oscila con una frecuencia co = 1/ L , a la cual llamamos la frecuencia natural del sistema.
Supongamos ahora que excitamos el circuito con una fem variable en el tiempo dada por

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Usando un generador externo. Aquí w", que puede variarse a voluntad, es la frecuencia de esta fuente externa. Definimos tales oscilaciones como forzadas. Cuando la fem descrita por la ecuación 52 se aplica por vez primera, aparecen en el circuito corrientes transitorias variables en el tiempo. Nuestro interés, sin embargo, está en las corrientes senoidales que existen en el circuito después de que estas transitorias iniciales han desaparecido. Cualquiera que pueda ser la frecuencia natural t), estas oscilaciones de la carga, la corriente, o la diferencia de potencial en el circuito deben ocurrir a la frecuencia de excitación externa c)".

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La figura 13 compara al sistema oscilatorio electromagnético con un sistema mecánico correspondiente. Un vibrador V, que imprime una fuerza externa alterna, corresponde al generador V, el cual imprime una fem externa alterna. Las demás cantidades "corresponden" como antes (véase la tabla 1): el desplazamiento a la carga y la velocidad a la corriente. La inductancia L, que se opone a los cambios en la corriente, corresponde a la masa (inercia) m, la cual se opone a los cambios en la velocidad. La constante k del resorte y el recíproco de la capacitancia C-' representan la "rigidez" de sus sistemas, dando, respectivamente, la respuesta (desplazamiento) del resorte a la fuerza y la respuesta (carga) del capacitor a la fem.
En el capítulo 39 dedujimos la solución para la corriente en el circuito de la figura 13a, la cual podemos escribir en la forma

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En la ecuación 53, 1a amplitud de la corriente im es una medida de la respuesta del circuito de la figura 13a a la fem de excitación. Es razonable suponer (por ejemplo, de la experiencia de impulsar un columpio) que im es grande cuando la frecuencia de excitación co" está cerca de la frecuencia natural m del sistema. En otras palabras, esperamos que una gráfica de i„, contra cv" exhiba un máximo cuando

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a lo cual llamamos la condición de resonancia.

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En la ecuación 53, 1a amplitud de la corriente im es una medida de la respuesta del circuito de la figura 13a a la fem de excitación. Es razonable suponer (por ejemplo, de la experiencia de impulsar un columpio) que im es grande cuando la frecuencia de excitación co" está cerca de la frecuencia natural m del sistema. En otras palabras, esperamos que una gráfica de i„, contra cv" exhiba un máximo cuando

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a lo cual llamamos la condición de resonancia.
La figura 14 muestra tres gráficas de i. en función de la razón c)"/(», correspondiendo cada gráfica a un valor diferente de la resistencia R. Vemos que cada uno de estos picos tiene realmente un valor máximo cuando la condición de resonancia de la ecuación 54 se satisface. Nótese que, al disminuir R, el pico de la resonancia se vuelve más agudo, como lo muestran las tres flechas dibujadas en el nivel a la mitad del máximo de cada curva.
La figura 14 indica la experiencia común de sintonizar un aparato de radio. Al girar el botón de sintonía, estamos ajustando la frecuencia natural co de un circuito LC interno para que coincida con la frecuencia de excitación w" de la señal transmitida por la antena de la estación transmisora; estamos buscando la resonancia. En un área metropolitana, donde existen muchas señales cuyas frecuencias están a menudo muy cercanas entre sí, la finura de la sintonización resulta importante.
La figura 14 es semejante a la figura 20 del capítulo 15, que muestra los picos de resonancia de las oscilaciones forzadas de un oscilador mecánico como el de la figura 13b. También en este caso, la respuesta máxima ocurre cuando co " = co, y los picos de resonancia se vuelven más agudos al reducirse el factor de amortiguamiento (el coeficiente b). Nótese que las curvas de la figura 14 y de la figura 20 del capítulo 15 no son exactamente iguales. La primera es una gráfica de la amplitud de la corriente, mientras que la última es una gráfica de la amplitud del desplazamiento. La variable mecánica que corresponde a la corriente no es el desplazamiento sino la velocidad. Sin embargo, ambos conjuntos de curvas ilustran el fenómeno de resonancia.

• Los circuitos de corriente alterna

Los circuitos de corrientes alternas (término comúnmente abreviado corno CA) se basan en los sistemas de distribución de energía eléctrica, en la radio, en la televisión, y en otros dispositivos de comunicación, así como en una amplia variedad de motores eléctricos. El calificativo de "alterna" significa que la corriente cambia de dirección, alternando periódicamente de una dirección a la otra. Por lo general, trabajamos con corrientes que varían de forma senoidal con el tiempo; sin embargo, como hemos visto previamente en el caso del movimiento ondulatorio, las formas de onda complejas pueden considerarse como combinaciones de ondas senoidales (por medio del análisis de Fourier) y, por analogía, podemos entender el comportamiento de los circuitos que tienen corrientes que dependen de modo arbitrario del tiempo entendiendo primero el comportamiento de los circuitos que tienen corrientes que varían senoidalmente con el tiempo.

Previamente hemos analizado la corriente producida cuando se aplica una fem que varia con el tiempo en formas distintas a circuitos que contienen elementos individuales o combinados de resistencia R, inductancia L y capacitancia C. En el capítulo 7 hemos estudiado las corrientes estacionarias resultantes de la aplicación de fem estacionaria a redes puramente resistivas. También vimos la respuesta de un circuito RC, de una sola malla cuando se aplica súbitamente una fem y, por otra parte, en el capítulo 12 se consideró de manera similar el circuito LR. En el capítulo 12 también se analiza el comportamiento de un circuito LC sin una fuente de fem y el comportamiento de un circuito RLC frente a una fem senoidal muy próxima a la resonancia.

Ahora consideraremos el comportamiento de la corriente alterna en un circuito RLC de una sola malla cuando éste se excita por una fuente de fem que varía con el tiempo según

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donde em es la amplitud de la fem variable. La frecuencia angular w (en rad/s) se relaciona con la frecuencia v (en Hz) de acuerdo con w = 2pv. En la figura 1 se indica una manera posible de producir una fem alterna senoidal. Al girar la bobina en un campo magnético uniforme, se induce una fem senoidal de acuerdo con la ley de Faraday. Éste es un ejemplo sencillo de generador de CA, del cual podría encontrarse una versión más compleja en una planta de suministro de energía. En un circuito, el símbolo de una fuente de fem alterna, como la de la figura 1, es Nuestro objetivo en este capítulo es entender el resultado de aplicar una fem alterna de la forma de la ecuación 1, a un circuito que contiene elementos resistivos, inductivos y capacitivos. Existen muchas maneras de conectar estos elementos en un circuito; como ejemplo del análisis de los circuitos de CA, en este capítulo consideraremos el circuito en serie RLC que se muestra en la figura 2, donde están conectados en serie un resistor R, un inductor L y un capacitor C a una fem alterna de la forma de la ecuación, 1.

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Durante un breve espacio, una vez que se aplica la fem inicialmente, la corriente varía en forma errática con el tiempo. Estas variaciones, llamadas transitorios, desaparecen rápidamente, después de lo cual vemos que la corriente varía senoidalmente con la misma frecuencia angular que la fuente de fem. Suponemos que analizamos el circuito después de que se ha llegado a esta condición, en la que la corriente puede escribirse como

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donde im es la amplitud de la corriente (la magnitud máxima de la corriente) y f es una constante de fase o ángulo de fase que indica la relación de fases entre e e i. (Nótese que en la Ec. 1 hemos supuesto una constante de fase de 0 para la fem. Adviértase también que en la Ec. 2 escribimos la constante de fase con un signo menos; esta elección es la acostumbrada al considerar la relación de fases entre la corriente y la fem.) En la ecuación 2, la frecuencia angular w es igual que en la ecuación 1. Supongamos que em, w, R, L y C son conocidas. El objetivo de nuestro cálculo es encontrar im y f, de modo que la ecuación 2 caracterice completamente a la corriente. Usamos un método general para el circuito RLC en serie; puede emplearse un procedimiento similar para analizar circuitos más complicados (que contengan elementos en varias combinaciones en serie y en paralelo). También puede aplicarse a una fem no senoidal, porque pueden escribirse fem más complicadas en términos de las fem senoidales al aplicar las técnicas del análisis de Fourier y puede considerarse, en forma semejante, que la corriente resultante es la superposición de muchos términos de la forma de la ecuación 2. Por lo tanto, es esencial la comprensión del circuito RLC en serie

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para entender el comportamiento que depende del tiempo en todos los circuitos. En este capítulo no nos ocuparemos específicamente del fenómeno de la resonancia, el cual vimos en el capítulo 12. La frecuencia angular w es completamente arbitraria y no está necesariamente relacionada con la frecuencia de oscilación angular natural del circuito. Nuestra deducción general de la ecuación 2 en las dos secciones siguientes abarca la resonancia como un caso especial, pero el resultado general permanece válido para cualquier w.

Antes de analizar el circuito de la figura 2 es útil analizar la respuesta de cada uno de los tres elementos por separado cuando se aplica una corriente alterna de la forma de la ecuación 2. Suponemos que tratamos con elementos ideales; por ejemplo, el inductor tiene sólo inductancia y no tiene resistencia ni capacitancia.

La figura 3a muestra un resistor en una sección de un circuito en el que la corriente i (dada por la Ec. 2) se estableció por medios no ilustrados en la figura. Al definir VR (= Va - Vb) como la diferencia de potencial en el resistor, podemos escribir

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La comparación entre las ecuaciones 2 y 3 demuestra que las cantidades VR e i variables con el tiempo están en fase: alcanzan sus valores máximos al mismo tiempo. Esta relación de fases se ilustra en la figura 3b. La figura 3c muestra otra manera de ver la situación. Se le llama diagrama fasor, donde los fasores, representados por las flechas vacías, giran en el sentido contrario a las manecillas del reloj con una frecuencia angular w alrededor del origen. Los fasores tienen las propiedades siguientes. (1) La longitud del fasor es proporcional al valor máximo de la cantidad alternante que interviene: para la diferencia de potencial, (VR)max = imR de la ecuación 3, y para la corriente, im de la ecuación 2. (2) La proyección de un fasor sobre el eje vertical da el valor instantáneo de la cantidad alternante considerada. Las flechas sobre el eje vertical representan a las cantidades VR e ¡variables con el tiempo, como en las ecuaciones 2 y 3, respectivamente. El hecho de que VR e i estén en fase es consecuencia de que sus fasores estén a lo largo de la misma línea en la figura 3c.

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En el diagrama de fasores establecíamos la relación entre el movimiento circular uniforme y el movimiento armónico simple. Se recordará que la proyección sobre cualquier eje de la posición de una partícula que se mueva con un movimiento circular uniforme da un desplazamiento que varía senoidalmente, en analogía con el movimiento armónico simple. Aquí, al girar los fasores, sus proyecciones sobre el eje vertical dan una corriente o un voltaje que varían senoidalmente. Siga usted la rotación de los fasores en la figura 3c y convénzase por sí mismo de que este diagrama de fasores describe a las ecuaciones 2 y 3 completa y correctamente.

La figura 4a muestra la parte de un circuito que contiene sólo un elemento inductivo. La diferencia de potencial VL (= Va - Vb) en el inductor se relaciona con la corriente según la ecuación 3 del capítulo 12:

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usando la ecuación 2 para la corriente. La identidad trigonométrica cos q = sen (q + p/2) nos permite escribir la ecuación 4 como

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La comparación entre las ecuaciones 2 y 5 demuestra que las cantidades VL e i variables con el tiempo no están en fase; Están un cuarto de ciclo fuera de fase, con VL adelante de i (o i atrás de VL ). Se dice comúnmente que, en un inductor, la corriente se atrasa con respecto a la diferencia de potencial en 90°. Esto se muestra en la figura 4b, la cual es una gráfica de las ecuaciones 2 y 5. Obsérvese que, en el transcurso del tiempo, i alcanza su máximo un cuarto de ciclo después de que VL lo hace. En el diagrama de fasores de la figura 4c se indica esta relación de fase entre i y VL. Al girar los fasores en el sentido contrario a las manecillas del reloj, es evidente que el fasor i sigue (es decir, se atrasa) al fasor VL un cuarto de ciclo después. Al analizar circuitos de CA, es conveniente definir la reactancia inductiva XL:

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en cuyos términos podemos reescribir la ecuación 5 como

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Al comparar las ecuaciones 3 y 7 vemos que la unidad del SI para XL debe ser la misma que la de R, es decir, el ohm. Esto puede verse directamente al comparar la ecuación 6 con la expresión para la constante inductiva de tiempo, TL = L/R. Si bien ambas se miden en ohms, una reactancia no es lo mismo que una resistencia. El valor máximo de VL es, de la ecuación 7,

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La figura 5a muestra la sección de un circuito que contiene sólo un elemento capacitivo. Una vez más, se ha establecido una corriente i dada por la ecuación 2 por medios no ilustrados aquí. Sea q la carga en la placa que está a la izquierda, de modo que una corriente positiva en esa placa provoca un aumento en q; esto es, i = dq/dt implica que dq > 0 cuando i > 0. La diferencia de potencial VC (= Va - Vb) en los extremos del capacitor está dada por

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Al integrar la corriente i dada por la ecuación 2, obtenemos

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donde hemos usado la identidad trigonométrica cos q = - sen (q - p/2). Al comparar las ecuaciones 2 y 10, vemos que i y Vc están a 90° fuera de fase, con i adelante de Vc. La figura 5b muestra a i y Vc graficadas en función del tiempo; nótese que i alcanza su máximo un cuarto de ciclo ante: que Vc, o sea 90°. De igual manera podemos decir que, en un capacitor, la corriente se adelanta a la diferencia de potencial en 90°. En el diagrama de fasores de la figura 5c se muestra la relación de fase. Al girar los fasores en el sentido contrario a las manecillas del reloj, es evidente que el fasor i se adelanta al fasor Vc en un cuarto de ciclo. En analogía con la reactancia inductiva, es conveniente definir a la reactancia capacitiva Xc,

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en cuyos términos podemos rescribir la ecuación 10 como

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Al comparar las ecuaciones 3 y 12, vemos que la unidad de Xc debe ser el ohm. Esta conclusión se deduce también cuando se compara a la ecuación 11 con la expresión tc = RC para la constante capacitiva de tiempo. El valor máximo de Vc es, de la ecuación 12

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La tabla 1 resume los resultados encontrados de los tres elementos individuales del circuito.

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Una vez concluido nuestro análisis de los elementos R, L y C por separado, volvamos ahora al análisis del circuito de la figura 2, en el cual están presentes los tres elementos. La fem está dada por la ecuación 1

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y la corriente en el circuito tiene la forma de la ecuación 2,

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Nuestro objetivo es determinar im y f.

Comenzamos aplicando el teorema del circuito cerrado al circuito de la figura 2, obteniendo o sea

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La ecuación 14 puede resolverse para la amplitud de la corriente im y la fase f usando una variedad de técnicas: análisis trigonométrico, análisis gráfico usando fasores y análisis diferencial.

Ya hemos obtenido las relaciones entre la diferencia de potencial entre cada elemento y la corriente por cada elemento. Por tanto, sustituyamos las ecuaciones 3, 7 y 12 en la ecuación 14, de lo cual obtenemos

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donde hemos sustituido la ecuación 1 para la fem. Si utilizamos identidades trigonométricas, la ecuación 15 puede escribirse

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Llevando a cabo algunos pasos trigonométricos más, la ecuación 16 puede reducirse a

toda vez que hemos elegido

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La amplitud de la corriente se determina directamente de la ecuación 17:

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Esto completa el análisis del circuito RLC en serie, porque hemos alcanzado nuestro objetivo de expresar la amplitud de la corriente im y la fase f en términos de los parámetros del circuito (em, w, R, L y C). Nótese que la fase f no depende de la amplitud em donde la fem aplicada; al cambiar em cambia im pero no f: la escala del resultado cambia, pero no su naturaleza. La cantidad en el denominador de la ecuación 19 se llama la impedancia Z del circuito RLC en serie:

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y por lo tanto, la ecuación 19 puede escribirse

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lo que nos recuerda la relación i = e/R para redes resistivas de una sola malla con fem estacionaria. La unidad en el SI de la impedancia es, evidentemente, el ohm. La ecuación 19 da la amplitud de la corriente, y la figura 14 del capítulo 12 es una gráfica de la ecuación 19. La corriente im tiene su valor máximo cuando la impedancia Z tiene su valor mínimo R, lo cual ocurre cuando XL = Xc o sea

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que es la condición de la resonancia dada en la ecuación 54 del capítulo 12. Si bien la ecuación 19 es un resultado general válido para cualquier frecuencia de excitación, ésta incluye la condición de resonancia como un caso especial.

Es instructivo usar un diagrama de fasores para analizar el circuito RLC en serie. La figura 6a muestra un fasor que representa a la corriente. Tiene la longitud im y su proyección sobre el eje vertical es im sen (wt -f), que es la corriente i variable con el tiempo. En la figura 6b hemos dibujado fasores que representan a las diferencias de potencial individuales entre los extremos de R, L y C. Nótense sus valores máximos y las proyecciones variables con el tiempo sobre el eje vertical. Debemos asegurarnos de que las fases estén de acuerdo con nuestras conclusiones del capítulo 13: VR está en fase con la corriente, VL se adelanta a la corriente en 90°, y Vc se atrasa de la corriente en 90°. De acuerdo con la ecuación 14, la suma algebraica de las proyecciones (instantáneas) de VR, VL y VC sobre el eje vertical da el valor (instantáneo) de e. En cambio, insistimos en que la suma vectorial de las amplitudes de los fasores (VR)max, (VL)máx, y (VC)máx da un fasor cuya amplitud es la em de la ecuación 1. La proyección de em sobre el eje vertical es la e variable con el tiempo de la ecuación 1; esto es, es VR + VL + VC como lo asevera la ecuación 14. En las operaciones con vectores, la suma (algebraica) de las proyecciones de cualquier número de vectores en una línea recta dada es igual a la proyección sobre esa línea de la suma (vectorial) de esos vectores. En la figura 6c, hemos obtenido primero la suma vectorial de (VL)max, y (VC)max, que es el fasor (VR)max, - (VC)max. En se-guida obtenemos la suma vectorial de este fasor con (VR)máx. Puesto que estos dos fasores están en ángulo recto, la amplitud de su suma, la cual es la amplitud del fasor em, es

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usando las ecuaciones 3, 8, y 12 para reemplazar a las amplitudes de los fasores. La ecuación 23 es idéntica a la ecuación 19 que obtuvimos del análisis trigonométrico. Como se muestra en la figura 6c, f es el ángulo entre los fasores im y em y de la figura vemos que

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la cual es idéntica a la ecuación 18.

La figura 6b se dibujó arbitrariamente con XL > Xc; esto es, supusimos que el circuito de la figura 2 es más inductivo que capacitivo. En esta hipótesis, im se atrasa de em (si bien no tanto como un cuarto de ciclo como lo hizo en el elemento puramente inductivo mostrado en la Fig. 4). El ángulo de fase f en la ecuación 23 (así como en la Ec. 2) es positivo pero menor de + 90°. Si, por otra parte, tenemos que XC > XL el circuito sería más capacitivo que inductivo e im se adelantaría a em (si bien no tanto como un cuarto de ciclo, como lo hizo en el elemento puramente capacitivo mostrado en la Fig. 5). Consistente con este cambio de atrasado a adelantado, el ángulo f en la ecuación 23 (así como en la Ec. 2) resultaría negativo automáticamente. Otra manera de interpretar la condición de resonancia hace uso del diagrama de fasores de la figura 6. En la resonancia, XL = Xc y, de acuerdo con la ecuación 23, f = 0. En este caso, los fasores (VL)máx, y (VC)máx en la figura 6 son iguales y opuestos, y así im está en fase con em. Una vez más, téngase presente que, mientras que las técnicas que hemos demostrado aquí son válidas para cualquier circuito de CA, los resultados son válidos únicamente para el circuito RLC en serie. Además, recuérdese que estamos examinando al circuito sólo en la situación de estado estacionario, o sea una vez que hayan desaparecido las variaciones transitorias breves.

Con VC = q/C y VL = di/dt , la ecuación 14 puede escribirse

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o, usando i = dq/dt,

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Llevando a cabo las analogías

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que ya habíamos usado en el capítulo 12, podemos adaptar inmediatamente el resultado dado para el oscilador mecánico amortiguado y forzado, al oscilador electromagnético amortiguado (esto es, resistivo) y excitado:

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donde, como puede usted demostrarlo, wZ es G. Al derivar la ecuación 27 para hallar la corriente, obtenemos la ecuación 2, i = im sen (wt - f), siendo im = em /Z. Se encomienda también al lector demostrar que la fase f dada se reduce a la ecuación 18 cuando reemplazamos las cantidades mecánicas con sus análogas electromagnéticas. Es una buena técnica buscar las analogías, como lo hicimos aquí, entre la resonancia mecánica y la electromagnética, lo cual no sólo proporciona un mayor acercamiento a los fenómenos nuevos sino que también ahorra trabajo en su análisis, puesto que podemos adaptar los resultados matemáticos obtenidos de un sistema al análisis del otro. Reconocemos las características comunes de los dos sistemas: un elemento excitador senoidal; un elemento inercial, que se resiste a los cambios de movimiento (m, que se resiste a los cambios en v, y L, que se resiste a los cambios en i); un elemento disipante (b y R, donde cada parte de los términos es lineal en cuanto a la velocidad de cambio de la coordenada); y un elemento de restitución (k y 1/C, donde cada parte de los términos es lineal en cuanto a la coordenada). Las características comunes de ambas soluciones son: una oscilación senoidal estable a la frecuencia de excitación después de un periodo inicial de transitorios rápidamente decadentes; una diferencia de fase entre el excitador y la coordenada oscilatoria que es independiente de 1a amplitud de excitación; y la resonancia a una frecuencia en particular cuyo valor está determinado sólo por los elementos inercia] y de restitución.

En un circuito eléctrico, la energía se suministra por la fuente de fem, almacenada por los elementos capacitivos e inductivos, y se disipa en los elementos resistivos. La conservación de la energía requiere que, en un tiempo en particular, la velocidad a la que se suministra la energía por la fuente de fem debe ser igual a la velocidad a la cual se almacena en los elementos capacitivos e inductivos más la velocidad a la que se disipa en los elementos resistivos. (Suponemos elementos capacitivos e inductivos ideales que carezcan de resistencia interna.) Consideremos un resistor como un elemento aislado (como se muestra en la Fig. 3) en un circuito de CA en el que la corriente está dada por la ecuación 2. (Examinamos al circuito en su estado estacionario, un tiempo suficientemente largo después de que la fuente de fem haya sido conectada al circuito.) De igual modo que en un circuito de CC, la velocidad de disipación de energía (el calentamiento de Joule) en un resistor de un circuito de CA está dado por

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La energía disipada en el resistor fluctúa con el tiempo, de igual modo que la energía almacenada en los elementos inductivos o capacitivos. En la mayoría de los casos de corrientes alternas, no merece atención la forma cómo varía la potencia durante cada ciclo; el interés principal está en la potencia promedio disipada durante cualquier ciclo en particular. La energía promedio almacenada en los elementos inductivos o capacitivos permanece constante durante cualquier ciclo completo; en efecto, la energía se transfiere de la fuente de fem a los elementos resistivos, en donde se disipa. Por ejemplo, la compañía de suministro de energía proporciona una fuente de fem de CA a nuestros hogares que varía con una frecuencia de v = 60 Hz. Se nos cobra dé acuerdo con la energía promedio que consumimos; a la compañía no le preocupa si estamos operando un aparato puramente resistivo, en el que se disipa la potencia máxima en fase con la fuente de fem, o un aparato parcialmente capacitivo y parcialmente inductivo como un motor, en donde la corriente máxima (y por lo tanto, la potencia máxima) puede ocurrir fuera de fase con la fem. Si la compañía que suministra la energía midió el uso de ésta en un tiempo menor que 1/60 s, ellos observarán variaciones en la velocidad a la que usamos la energía, pero al medirla durante un tiempo mayor que 1/60 s sólo la velocidad promedio del consumo de energía será de importancia. Escribimos la potencia promedio P al considerar el valor promedio de la ecuación 28. El valor promedio del sen2 durante cualquier número completo de ciclos es de _, independientemente de la constante de fase. La potencia promedio es, entonces,

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lo cual podemos escribir también como

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La cantidad

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es igual al valor de la raíz media cuadrática (rms, de root-mean-square) de la corriente:

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Es el resultado que se obtendría al elevar primero al cuadrado la corriente, luego considerar su promedio (o media) durante un número completo de ciclos, y luego extraer la raíz cuadrada. Es conveniente escribir la potencia en términos de los valores rms, porque los medidores del voltaje y de la corriente de CA están diseñados para indicar los valores rms. La instalación común de 120 V en el hogar es un valor rms; el voltaje de pico es

En términos de i, la ecuación 31 puede escribirse

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La ecuación 32 es semejante a la expresión P = i2rmsR, la cual describe la potencia disipada en un resistor en un circuito de CC. Si reemplazamos a las corrientes y voltajes de CC con los valores rms de las corrientes y voltajes de CA, pueden emplearse las expresiones de la disipación de potencia de CC para obtener la disipación promedio de potencia de CA. Hasta ahora sólo hemos considerado la potencia disipada en un elemento resistivo aislado dentro de un circuito de CA. Consideremos ahora un circuito de CA completo desde el punto de vista de la disipación de potencia. Para este propósito elegimos de nuevo el circuito RLC en serie como ejemplo. El trabajo dW efectuado por una fuente de fem e sobre una carga dq está dado por dW = e dq. La potencia P (= dW/dt) es, entonces, e dq/dt = e i, o, usando las ecuaciones 1 y 2,

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Rara vez estamos interesados en esta potencia instantánea que, por lo general, es una función de tiempo rápidamente fluctuante. Para hallar la potencia promedio, usemos primero una identidad trigonométrica para desarrollar el factor sen (w t - f ):

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Al promediar ahora para un ciclo completo, el término sen2 w t da el valor, _ mientras que el término sen w t cos w t da 0, como puede demostrarse (véase el problema 22. La potencia promedio es, entonces

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Reemplazando tanto em como im por sus valores rms

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podemos escribir la ecuación 35 como

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La cantidad cos f en la ecuación 36 se llama factor de potencia del circuito de CA. Calculemos el factor de potencia para el circuito RLC en serie. De la ecuación 18, tan f = (XL - XC)/R, podemos demostrar que

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De acuerdo con la ecuación 36, la potencia entregada al circuito por la fuente de fem es máxima cuando cos f = 1, lo cual sucede cuando el circuito es puramente resistivo y no contiene capacitores ni inductores, o en la resonancia cuando XL = XC de modo que Z = R. En este caso la potencia promedio es

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Si la carga es fuertemente inductiva, como lo es a menudo en el caso de los motores, los compresores, etcétera, la potencia entregada a la carga puede llevarse al máximo aumentando la capacitancia del circuito. Las compañías de suministro de energía colocan a menudo capacitores a lo largo de sus sistemas de transmisión para conseguirlo.

En los circuitos de CC la disipación de la potencia en una carga resistiva. Para determinada demanda de potencia, tenemos nuestra elección de una corriente i relativamente grande y una diferencia de potencial V relativamente pequeña, o a la inversa, siempre que su producto permanezca constante. Del mismo modo, en circuitos de CA puramente resistivos (en los que el factor de potencia, cos f en la ecuación 36, es igual a 1), la disipación de la potencia promedio está dada por la ecuación 38 (P = irms erms) y tenemos la misma elección en cuanto a los valores relativos de irms y erms

En los sistemas de distribución de energía eléctrica es deseable, tanto por razones de seguridad como de diseño eficiente del equipo, tener voltajes relativamente bajos tanto en el extremo generador (la planta de energía eléctrica) como en el extremo receptor (el hogar o la fábrica). Por ejemplo, nadie quiere que un tostador eléctrico o un tren eléctrico de juguete opere a, digamos, 10 kV.

Por otra parte, en la transmisión de la energía eléctrica desde la planta generadora hasta el consumidor, deseamos la corriente mínima práctica (y por tanto la diferencia de potencial máxima práctica) de tal modo que sea mínima la disipación i2R de la energía en la línea de transmisión. Valores tales como erms = 350 kv son típicos. Así, existe una desproporción fundamental entre los requisitos para una transmisión eficiente, por un lado, y la generación segura y eficiente y el consumo, por otro lado.

Para superar este problema, necesitamos un dispositivo que sea capaz, según lo requieran las consideraciones del diseño, de elevar (o bajar) la diferencia de potencial en un circuito, manteniendo al producto irms erms esencialmente constante. Tal dispositivo es el transformador de corriente alterna mostrado en la figura 7. Operando sobre la base de la ley de la inducción de Farad ay, el transformador no tiene un equivalente para corriente continua, lo cual explica el por qué los sistemas de distribución de CC, vehementemente defendidos por Edison, han sido hoy día completamente reemplazados por sistemas de CA, sólida-mente defendidos por Tesla y otros.

En la figura 7 se muestran dos bobinas devanadas alrededor de un núcleo de hierro. El devanado primario, de NP vueltas, está conectado a un generador de corriente alterna cuya fem está dada por e = em sen wt. El devanado secundário, de NS vueltas, es un circuito abierto en tanto esté abierto el interruptor S, lo cual suponemos por el momento. Entonces, no existe corriente en el devanado secundario. Suponemos además que podemos despreciar a todos los elementos de disipación, como las resistencias de los devanados del primario y del secundario. En realidad, los transformadores de alta capacidad, bien diseñados, pueden tener pérdidas de energía tan bajas como el 1%, de modo que nuestra hipótesis de un transformador ideal no es irrazonable.

Para las condiciones anteriores, el devanado del primario es una inductancia pura, como en la figura 4a. La corriente en el primario (muy pequeña), llamada la corriente magnetizante imag(t), se atrasa con respecto a la diferencia de potencial del primario Vp(t) en 90°; el factor de potencia (= cos f en la ecuación 36) es cero, de modo que no hay una entrega de potencia del generador al transformador.

Sin embargo, la pequeña corriente alterna en el primario imag(t) induce un flujo magnético alternante FB(t) en el núcleo de hierro, y suponemos que este flujo eslabona o enlaza a las vueltas de los devanados del secundario. (Esto es, suponemos que todas las líneas del campo magnético forman anillos cerrados dentro del núcleo de hierro y que ninguna "escapa" a los alrededores.) De la ley de la inducción de Faraday la fem por vuelta eT(igual a -dFB/dt) es la misma para ambos devanados, tanto para el primario como para el secundario, porque los flujos en el primario y en el secundario son iguales. A1 considerar valores rms, podemos escribir

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En cada devanado, la fem por vuelta es igual a la diferencia de potencial dividida entre el número de vueltas en el devanado; la ecuación 40 puede escribirse

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Aquí Vp y Vs se refieren a cantidades rms. Al despejar Vs, obtenemos

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Si Vs > Vp (en cuyo caso Vs > Vp), nos referimos a un transformador elevador; si Vs < Vp, nos referimos a un transformador reductor. En todo lo anterior hemos supuesto un circuito secundario abierto de modo que no se transmite ninguna potencia por el transformador. Sin embargo, si ahora cerramos el interruptor S en la figura 7, tenemos una situación más práctica en la que el devanado del secundario está conectado a una carga resistiva R En el caso general, la carga contendría también elemento inductivos y capacitivos, aunque por ahora sólo nos concreta-remos a este caso especial de una carga puramente resistiva.

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Suceden varias cosas al cerrar el interruptor S. (1) En el circuito del secundario surge una corriente i, rms, con una disipación promedio de potencia i2sR (= V2s /R) en la carga resistiva. (2) La corriente alterna en el secundario induce su propio flujo magnético alterno en el núcleo de hierro, y este flujo induce (según las leyes de Farad ay y de Lenz) una fem en oposición en los devanados del primario. (3) Sin embargo, VP no puede cambiar su respuesta a esta fem de oposición porque siempre debe ser igual a la fem proporcionada por el generador; el cierre del interruptor S no puede cambiar este hecho. (4) Para asegurar esto, debe surgir en el circuito del primario una nueva corriente alterna ip, siendo constantes su magnitud y fase precisamente en lo necesario para cancelar la fem de oposición generada en los devanados del primario por is.

En lugar de analizar el proceso anterior más bien complejo en detalle, tomamos ventaja de la visión general proporcionada por el principio de conservación de la energía. Éste nos dice que, en un transformador con una carga resistiva

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Puesto que la ecuación 42 es válida ya sea que el interruptor S de la figura 7 esté cerrado o no, tenemos entonces

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como la relación de transformación de las corrientes.

Por último, sabiendo que is = Vs /R, podemos usar las ecuaciones 42 y 44 para obtener

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que nos indica que, desde el punto de vista del circuito primario, la resistencia equivalente de la carga no es R sino

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La ecuación 46 sugiere otra función más del transformador. Vemos que, para una transferencia de energía máxima de una fuente de fem hacia una carga resistiva, la resistencia del generador y la resistencia de la carga deben ser iguales. La misma relación se cumple en los circuitos de CA excepto que la impedancia (en lugar de la resistencia) del generador debe igualarse a la de la carga. Sucede a menudo —como cuando desearnos conectar un altavoz a un amplificador— que esta condición está lejos de cumplirse, siendo el amplificador de una impedancia más elevada y el altavoz de una impedancia baja. Podemos igualar las impedancias de los dos dispositivos acoplándolos por medio de un transformador con una razón, de vueltas apropiada.

• Las ecuaciones de MAXWELL

En este capitulo buscaremos identificar un grupo básico de ecuaciones para el electromagnetismo. Consideraremos diferentes etapas para alcanzar este objetivo. Mostramos primero, en la tabla 1, un grupo tentativo de ecuaciones. Estas se obtuvieron en los capítulos anteriores. Téngase en cuenta que cada una de estas cuatro ecuaciones es una enunciado de un grupo diferente de resultado experimentales. Después de estudiar estas tablas, concluiremos, partiendo de un argumento basado en la simetría, que estas ecuaciones no son aun completas y debe existir (y en realidad existe) un termino faltante en unas de ellas.

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El término faltante demuestra de no ser una corrección insignificante: completa la descripción del electromagnetismo. En particular, nos permite predecir que la velocidad de la luz ( y de todas las ondas electromagnéticas) en él vació se relaciona con cantidades puramente eléctricas y magnéticas mediante.

Esta relación, junto con las predicciones adicionales de las ecuaciones electromagnéticas, fue mas tarde comprobada por experimentación con la luz, las ondas de radio y otras ondas electromagnéticas.

Ya hemos vistos que el principio de la simetría esta aunado con la física y como condujo a menudo a nuevos conocimientos y descubrimiento. Por ejemplo, si el cuerpo A atrae al cuerpo B con una fuerza magnitud F, entonces cabe de esperar, por simetría, que el cuerpo B atraiga al cuerpo A con una fuerza de la misma magnitud. Sucede que así en la realidad, en otro ejemplo, la simetría de la teoría que se describe a los electrones ordinarios cargados negativamente sugerida que el electrón tendría una contra parte carga positivamente; el posterior descubrimiento del positron demostró que esta preedición era correcta.
Examinemos la tabla 1 desde el punto de vista de la simetría.

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Haremos caso omiso de cualquier falta de simetría en las ecuaciones que provienen de e0 y m0; estas constantes son resultado de nuestra elección de los sistemas de unidades y no desempeñan un papel en las consideraciones de las simetrías. ( De hecho existen sistema de unidades en los quee0 y m0 =1.)
Teniendo esto en cuenta vemos que los miembros izquierdos de las ecuaciones de las tablas 1 son completamente simétricos, en parejas. Las ecuaciones I y II son integrales de la superficie de E y de B, respectivamente, calculada por la superficie cerrada. Las ecuaciones III y IV son integrales de las líneas de E y de B, respectivamente, respectivamente, calculadas para las trayectorias cerradas.
Por otro lado, los miembros derechos de estas situaciones no son simétricos.

Existen dos clases de asimetrías:
1. La primera asimetría, que en realidad no es de interés este capítulo, trata del hecho evidente de que no existen centros de cargas magnéticas aislados análogos a los centros de cargas eléctrica ( por ejemplo, los electrones)aislados. Así, podemos explicar la q del miembro derecho de la ecuación modo, él termino i(= dq½dt ), que representa la corriente de las cargas eléctrica, aparece en el miembro derecho de la ecuación IV, pero no existe un termino correspondiente que represente una corriente de las cargas magnéticas en el miembro derecho de la ecuación III. El deseo de la simetría en estas ecuaciones condujo a la predicción de que los monopolos magnéticos deberían existir. A pesar de muchas investigaciones experimentales para descubrir los monopolos, todavía no existe una confirmación de su existencia. Mas adelante, en este mismo capitulo, veremos como convertir en simetría las ecuaciones de Maxwell en caso de probarse que los monopolos magnéticos existen.
2. La segunda asimetría, que es la más significativa en el estudio de este capítulo, es igualmente prominente. En el miembro derecho de la ecuación III hallamos él termino -dFB½dt. Esta ecuación. Conocida también como la ley de la inducción de Faraday, puede interpretarse vagamente diciendo: si un campo magnético cambia (dFB½dt), se produce un campo eléctrico (E_dS) Según el principio de la simetría estamos obligados a pensar que la relación analógica es cierta, esto es: Si un campo eléctrico (dFE½dt) cambia, se produce un campo magnético (B_dS)
Esta hipótesis, la cual estudiaremos mas plenamente en la sección siguiente, nos proporciona él termino faltante en la ecuación IV y resultado satisfacer la prueba del experimento.

Aquí veremos en detalle la prueba de la hipótesis de la sección anterior: es decir, un campo eléctrico variable induce un campo magnético. Si bien nos guiamos primordialmente por consideraciones de simetría, también hallamos una verificación experimental directa.

La figura 1» muestra un capacitor circular de placas paralelas. En la placa de la izquierda ( que suponemos contiene una carga negativa) entre una corriente i. Y de la placa de la derecha sale una corriente igual i. Un anillo amperiano rodea al conductor en la figura 1» y forma los limites de una superficie que es atravesada por el conductor. La corriente en el conductor crea un campo magnético; en la sección 35-5 vimos que el campo magnético y la corriente se relaciona con la ley de Ampere,

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Es decir, la integral de la línea del campo magnético que rodea al anillo es proporcional a la corriente total que pasa por la superficie limitada por el anillo.

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En la figura 1b, hemos conservado el mismo anillo pero hemos estirado a la superficie limitada por el anillo, de modo que encierre toda la placa del lado izquierdo del capacitor. Puesto que el anillo no ha cambiado ( como tampoco el campo magnético), el lado izquierdo de la ley de Ampere da el mismo resultado, pero el lado derecho da un resultado diferente, es decir, cero, porque no pasa ningún alambre conductor a través de la superficie. Esto parece todas las luces una violación a la ley de Ampere.

Para restituir la ley de Ampere, de modo que describa correctamente la situación de la figura 1b, confiamos en la conclusión basada en la simetría: un campo eléctrico variable crea un campo magnético. Consideremos con mayor detalle la situación de la figura 1. Cuando la carga de carga al capacitor, el campo eléctrico en su interior cambia con cierta velocidad dE½dt. Las líneas del campo eléctrico atraviesan la superficie en términos del flujo eléctrico FE, y un campo eléctrico variable debe dar un flujo eléctrico variable correspondiente, dFE½dt.

Para describir cuantitativamente, este nuevo efecto, nos guiamos por la analogía con la ley de la inducción de Faraday,

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Que afirma que un campo magnético variable (lado derecho) produce un campo eléctrico (lado izquierdo). Para la contraparte simétrica escribimos

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La ecuación 4 afirma que un campo eléctrico variable (termino derecho) puede producir un campo magnético (termino izquierdo).
La situación mostrada en al figura 1» se describe según la ley de Ampere en la forma de la ecuación 1, mientras que la situación en la figura 1b esta descrita por la ecuación 4. en el primer caso, es al corriente que se atraviesa la superficie el que da el campo magnético. En general, debemos tener en cuentas ambas maneras de producir un campo magnético: (a) por medio de una corriente y (b) por medio de un flujo eléctrico variable, y así debemos modificar la ley de Ampere para modificar
E·ds = m0 i + m0Œ0 dFB (5)
dt
Maxwell es el responsable de esta importante generalización de la ley de Ampere. Es una contribución central y vital, como ya lo habíamos señalado.
En él capitulo 35 supusimos que no había campo eléctrico variables representantes de modo que él término dFE½dt en la ecuación 5 era cero. En el análisis en la figura 1b supusimos que no existían corrientes de conducción en el espacio que contiene el campo eléctrico. Entonces él término i en la ecuación 5 es cero en ese caso. Vemos ahora que cada unas de estas situaciones es un caso especial. Si hubiera alambres delgados conectados a las dos placas en la figura 1b, no habría contribuciones a partir de ambos términos en la ecuación 5.
La figura 2 indica una manera alternativa de interpretar la ecuación 5; esa figura muestra el campo eléctrico en la región situada en las placas del capacitor en la figura 1. Consideremos ahora que nuestro anillo amperiano es una trayectoria circular en esa región. En el lado derecho de la ecuación 5, él término i es cero, pero el termino dFE½dt no lo es. De hecho, el flujo que atraviesa la superficie es positivo si las líneas del campo son como se muestra, y el flujo esta aumenta (en correspondencia con el campo eléctrico que aumenta) cuando las cargas positiva es transportadas a la placa de la izquierda en la figura 1. la integral de línea de B calculada para el anillo debe ser también positiva, y las direcciones B deben de ser como se muestra en la figura 2.

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La figura 2 sugiere un bello ejemplo de la simetría de la naturaleza. Un campo magnético variable induce un campo eléctrico (ley de Faraday); vemos ahora que un campo eléctrico variable induce un campo magnético. Comparece cuidadosamente la figura 2 con la figura 12 del capitulo 36, la cual ilustra la producción de un campo eléctrico mediante un campo magnético variable. En cada caso el flujo dFB o dFE apropiado esta aumentando. Sin embargo, la experimentación de muestra que las líneas de E en la figura 12 del capitulo 36 están en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, mientras que las de B en la figura 2 están en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj. Esta diferencia requiere que el signo menos de la ecuación 3 se omita de la ecuación 4.

En la ecuación 5 muestra que l termino Œ0dFE½dt tiene las dimensiones de una corriente. Aunque no este implicado un movimiento de cargas, existen ventajas a dar este termino los nombres de corriente de desplazamiento. La corriente de desplazamiento id se define dé acuerdo con

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Entonces podemos decir que se puede crearse un campo magnético ya sea por medio de una corriente de conducción i o por medio de una corriente de desplazamiento id, y podemos rescribir la ecuación 5 así:
El concepto de corriente de desplazamiento nos permiten conservar la noción de que la corriente tiene continuidad, un principio establecido en la sección 32-1 para las corrientes de conducción estacionarias. En la figura 1b, por ejemplo, entra una corriente de conducción i en la placa positiva y sale por la placa negativa. Esta corriente de conducción no es continua en el espacio entre las placas del capacitor por que por el espacio no pasa ninguna carga. Sin embargo, la corriente de desplazamiento id, en el espacio prueba ser exactamente igual a i, conservando así el concepto de la continuidad de la corriente.
Calculemos la corriente de desplazamiento id, en el espacio del capacitor de la figura 1b. La carga q en la placa se relacionan con el campo eléctrico E en el espacio por medio de la ecuacion3 del capitulo 31,

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Al derivar nos da

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La cantidad EA es el flujo eléctrico FE, y entonces

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La comparación con la ecuación 6 demuestra que

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Entonces, la corriente de desplazamiento en el espacio entre las placas es igual a la corriente de conducción por alambres, lo que demuestra que la corriente tiene continuidad.
Cuando el capacitor esta correctamente cargado, la corriente de conducción cae a cero (no influye corriente por alambres). El campo eléctrico entre las placas se vuelve constante; entonces dE½dt = 0, y por lo tanto, la corriente desplazamiento cae también a cero.
La corriente de desplazamiento id, dad por la ecuación 6, tiene tanto dirección como magnitud. La dirección de la corriente de la conducción i es la del vector j de la densidad de la corriente de la conducción. De manera similar, la dirección de la corriente de desplazamiento id, es el vector jd de la densidad de la corriente de la conducción, el cual, como se refiere a la ecuación 6, es precisamente Œ0(dE½dt). La regla de la mano derecha, aplica ha jd da la dirección del campo magnético asociado, de igual manera como lo hace el vector j de la densidad de la corriente de la conducción.

La ecuación 5 completa nuestras presentaciones de nuestras ecuaciones básicas del electromagnetismo, llamadas ecuaciones de Maxwell. Se resumen en la tabla 2, la cual sustituye al grupo "tentativo" de al tabla1, siendo la diferencia entre los dos grupos él termino de la corriente de desplazamiento "faltante" en la ecuación IV de la tabla1. Maxwell describió su teoría de electromagnetismo en un extenso tratado de electricidad y magnetismo, publicado en 1873, seis años ante de su muerte. El tratado no contiene las cuatros ecuaciones en la forma en la que hemos presentado. Fue el físico ingles Oliver Heaviside (1850-1925), descrito como "un antiguo telegrafista, desempleado, en buen grado autodidacta", quien señaló la simetría entre E y B en las ecuaciones y expreso las cuatro ecuaciones en la forma en la que la conocemos hoy día.

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Consideremos algunas características de estas notables ecuaciones.

1. La simetría. La inclusión del termino de la corriente de desplazamiento en la ecuación IV de la tabla2 ciertamente hace parecer a las ecuaciones III y IV más semejante, mejorando por ello la simetría del grupo de ecuaciones. Sin embargo, todavía no son completamente simétricas. Resultaría un grupo completamente simétrico si se confirmase la existencia de cargas magnéticas individuales (monopolos). De descubrirse tales cargas tales cargas magnéticas seria posible experimentar con ellas. Acuden en la mente dos experimentos por analogía con nuestro desarrollo previo del electromagnetismo. Un experimento, similar al experimento original de Coulomb, seria la medición de la fuerza entre los monopolos para determinar si obedecen una ley del inverso de los cuadrados. De ser así, entonces de la ecuación II se podría escribir à@B_dA = m0qm. Esta forma la ley de Gauss para el magnetismo afirmaría que el flujo del campo magnético que atraviesa a cualquier superficie cerrada es proporcional a la carga magnética neta qm en cerrada por la superficie. En este caso las ecuaciones I y II serian más simétrica.
El segundo experimento, similar al que realizo Oersted, seria para demostrar que una corriente de cargas magnéticas produce un campo eléctrico. En este caso se sumaria al lado derecho de la ecuación III un termino que incluya im = dqm½dt, la corriente de las cargas magnéticas. Con esta adición, las ecuaciones III y IV serían más simétricas.
Hasta ahora no existe una prueba concluyente de los monopolos magnéticos, así que los experimentos descritos permanecen como especulaciones, y el grupo de ecuaciones de la tabla 2 es muestra mejor de descripción de las propiedades de los campos eléctricos y magnéticos. Sin embargo, nótese cuan difícil podría incorporarse un descubrimiento tan importante como el de monopolo magnético en las ecuaciones básicas del electromagnetismo.

2. Las ondas electromagnéticas. Las cuatro ecuaciones de la tabla 1 se conocían, por supuesto, mucho antes de los tiempos de Maxwell (él nació en el año en que Faraday descubrió la ley de la inducción). Consideradas juntas, no surgieron nuevos efectos mas allá de los experimentos originales que representan. Es solo al sumar la corriente de desplazamiento cuando emerge la nueva física. Esta nueva física incluye la predicción de la existencia de las ondas electromagnéticas, que fueron descubiertas experimentalmente por Heinrich Hertz en 1888, 15 años después de haberse publicado el tratado de Maxwell. En él capitulo siguiente demostramos como se conduce las ecuaciones de Maxwell las ondas electromagnéticas, las cuales transporta energía y cantidad de movimiento a través del espacio vació mediante campos electromagnéticos.

3. El electromagnetismo y la relatividad. Ya hemos dicho en la introducción de este capitulo que las ecuaciones de Maxwell son para el electromagnetismo lo que las leyes de Newton son para la mecánica. Sin embargo, existe una diferencia importante. La teoría de la relatividad de Einstein fue presentada en 1905, mas 30 años des pues del trabajo de Maxwell y más de 200 años después del de Newton. La relatividad requiere cambios importantes en las leyes de Newton para el movimiento velocidades cercanas a la de la luz, pero no se requirió cambios algunos en las ecuaciones de Maxwell. Las ecuaciones de Maxwell son totalmente consistentes con la teoría especial de la relatividad, y de hecho la teoría de Einstein se originó sus reflexiones sobre las ecuaciones de Maxwell. En el lenguaje de al física decimos que las ecuaciones de Maxwell son invariantes conforme a una transformación de Lorentz, pero las leyes de Newton no.

Existen muchas situaciones en las que intervienen campos magnéticos que podemos usar como una demostración de las ecuaciones de Maxwell. Dejamos hasta el capitulo 41 cualquier consideración de la pruebas que implican ondas magnéticas. Aquí veremos una cavidad resonante, la cual podemos considerar que es un oscilador electromagnético con elementos distribuidos.
A modo de analogía consideramos la cavidad resonante acústica de la figura 3. (Un tubo de órgano cerrado en ambos extremos, es un ejemplo de tal resonador acústico.) En un oscilador simple, como un bloque unido a un resorte o un circuito LC, podemos "concentrar" la energía almacenada en elementos por separado: la energía cinética del bloque y la energía potencial del resorte, o la energía magnética almacenada en el inductor y la energía eléctrica almacenada en el capacitor. En el resonador acústico no es posible esta división. Cada diminuto elemento de gas dentro del tuvo tiene tanto energía potencial como energía cinética; se dice que tal sistema tiene elementos distribuidos. La cavidad resonante electromagnética tiene igualmente elementos distribuidos.
Una característica de un sistema distribuido es que tiene un gran numero de modos resonantes (en contraste, el sistema concentrado tiene pocos a menudo apenas uno.) La figura tres muestra el modo fundamental de la cavidad acústica. Ilustra una serie de "instantáneas" de variaciones de la presión y la velocidad a través de un ciclo. Nótese que la presión y la velocidad varían con el tiempo y con la ubicación a lo largo del tuvo. En cada extremo de un tuvo cerrado existe un antinodo de presión. Donde la variación de la presión es máxima, la velocidad es cero (Fig. 3a y 3e), en analogía con el sistema bloque-resortea su máximo desplazamiento. Cuando la presión es uniforme las velocidades tienen sus valores máximos (Fig. 3c y 3g).
Como lo muestran la gráficas de barras que acompañan a cada "instantánea" de la figura 3, la energía del resonador oscila entre la energía sintética del gas en movimiento y la energía potencial asociada con la compresión y el enrarecimiento del gas.
La energía puede ser totalmente potencial(Fig. 3a y 3e), totalmente cinética (Fig. 3e y 3g), o una combinación de ambas.
Por analogía con la cavidad acústica, podemos considerar una cavidad resonante electromagnética cilíndrica. En lugar de la presión y la velocidad, describimos el estado del resonador mediante sus campos eléctrico y magnético. Para iniciar las oscilaciones del campo, conectamos una fuente de fem que varia senoidalmente. Esto da lugar a un campo eléctrico variable en la cavidad. Como era el caso de la figura 2, el campo eléctrico variable provoca un campo magnético, y así dentro de la cavidad existen campos magnéticos y eléctricos que varían con la posición y con el tiempo.

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Al igual que el resonador acústico, el resonador electromagnético almacena su energía en dos formas; en este caso las energías están asociadas con el campo magnético y el campo eléctrico. Cada elemento de volumen de la cavidad contribuye a ambas clases de energía, y así la cavidad electromagnética tiene elementos distribuidos.
La figura 4 muestra de manera semejante a la figura 3, una serie de "instantáneas" de la cavidad que ilustran los campos eléctrico y magnético en un instante de la oscilación del modo fundamental. Nótese la oscilación de la energía entre las dos

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formas, correspondientes a las densidades de la energía eléctrica y magnética, Al integrar para el volumen de la cavidad, hallamos la energía total en cada una de las dos formas.
La figura 5 muestra una representación mas detallada de los campos eléctrico y magnético en n instante de la oscilación en particular, correspondiendo a la figura 4d. Note en la figura 4d que el campo magnético esta disminuyendo, y que el campo eléctrico esta creciendo. Apliquemos la ley de Faraday,

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al rectángulo de trazos de dimensiones h y a -r. Existe un campo magnético definido _B en esta área rectangular, y este flujo esta disminuyendo con el tiempo porque B esta disminuyendo.

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  En una cavidad hecha de un material conductor, podemos hacer que E sea cero en la pierna superior de la trayectoria de integración, la cual se encuentra dentro de las paredes de la cavidad. También, E y ds están en ángulo recto en las dos piernas laterales, de modo que E · ds = 0 en esta parte de la trayectoria rectangular. La única contribución a la integral de línea de E alrededor del perímetro del rectángulo se deduce del segmento inferior, y así

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donde E(r) es el valor de E en un radio de r desde el eje de la cavidad. Al incorporar este resultado de la integral de línea en la ley de Faraday , obtenemos

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La ecuación 8 muestra que E(r) depende de la velocidad a la que el _B que atraviesa la trayectoria mostrada esta cambiando con el tiempo y que tiene su magnitud máxima cuando d _B /dt es máxima. Esto ocurre cuando B es cero, esto es, cuando B esta cambiando su dirección; recordemos que un seno o un coseno cambia mas rápidamente (tiene la pendiente mas pronunciada) en el instante en que cruza el eje entre los valores positivo y negativo. El patrón del campo eléctrico en la cavidad tiene su valor máximo cuando el campo magnético es cero en todas partes, consistente con las figuras 4a y 4e y con el concepto de intercambio de la energía entre los campos magnético y eléctrico. Al aplicar la ley de Lenz puede demostrarse que el campo eléctrico en la figura 5 apunta realmente hacia la derecha, como se muestra, si el campo magnético esta disminuyendo.
Apliquemos la ley de Ampere en la forma

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a la trayectoria circular de trazos de radio r que se muestra en la figura. No se transporta ninguna carga a través del área limitada por la trayectoria circular, de modo que la corriente de conducción i es cero. La integral de línea de la izquierda es (B)(2õr), y por lo tanto la ecuación se reduce a

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La ecuación 9 muestra que el campo magnético B(r)es proporcional a la velocidad a la que el flujo eléctrico _E a través del anillo esta cambiando con el tiempo. El campo B(r) tiene su valor máximo cuando d _E/dt esta en su máximo; esto ocurre cuando E = 0, esto es, cuando E esta invirtiendo su dirección. Así pues, vemos que B tiene un valor máximo cuando E es cero en todos los puntos de la cavidad. Esto es consistente con las figuras 4c y 4g y con el concepto del intercambio de la energía entre las formas eléctrica y magnética. Una comparación con la figura 2, la cual, al igual que la figura 5, corresponde a un campo eléctrico creciente, muestra que las líneas de B giran en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj vistas a lo largo de la dirección del campo eléctrico.
La comparación entre las ecuaciones 8 y 9 indica la completa interdependencia de B y E en la cavidad. El campo magnético, al cambiar con el tiempo, induce el campo eléctrico de un modo descrito por la ley de Faraday.
El campo eléctrico que también cambia con el tiempo, induce el campo magnético de un modo descrito por la generalización de Maxwell a la ley de Ampere.
Las oscilaciones, una ves establecidas, se soportan una a la otra y continuarían indefinidamente si no fuera por las perdidas debidas a la producción de energía interna en las paredes de la cavidad conductora o la perdida de energía en las aberturas que pudiera haber en las paredes. En el capitulo 41 demostramos que ocurre una acción reciproca entre B y E no solo en ondas electromagnéticas estacionarias en las cavidades sino también en las ondas electromagnéticas viajeras, como las ondas electromagnéticas viajeras, como las ondas de radio de luz visible.
En una cavidad acústica resonante, como un tubo de órgano, proporcionaremos una fuente de energía (por ejemplo, dirigiendo un chorro de aire contra un borde agudo), dejamos que se establezca una onda estacionaria en la cavidad una frecuencia determinada por la geometría de la cavidad, y hacemos que una porción de energía de la onda salga del tubo, donde es oída por un oyente. La secuencia de los sucesos es semejante en una cavidad electromagnética. Las oscilaciones deben estimularse externamente, como por una corriente.
Se establece una onda electromagnética estacionaria cuya frecuencia depende de las dimensiones de la cavidad cilíndrica. Así se permite que una porción de la onda deje la cavidad. Un uso común de tales cavidades resonantes se tiene en los aceleradores que producen haces de partículas cargadas con alta energía. La figura 6 muestra el interior del acelerador de electrones de dos millas en Stanford, en donde una serie de cientos de cavidades resonantes (llamadas klistrones) alimentan ondas electromagnéticas en el acelerador.

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Los electrones viajan a lo largo de la trayectoria recta de 2 millas, sometidos a una secuencia de campos eléctricos acelerantes, que disparan la energía de los electrones a cerca de 50 GeV.
La figura 7 muestra dos vistas de la cavidad, en un instante correspondiente al de la figura 5. Para simplificar, no mostramos los campos E y B; las flechas representan a las corrientes. Puesto que E esta creciendo en las figuras 5 y 7, la carga positiva en la tapa del lado izquierdo debe estar creciendo. Entonces, debe haber corrientes de conducción en las paredes que apuntan de derecha a izquierda en la figura 7b. Estas corrientes se muestran también mediante puntos (que representan las puntas de las flechas) cerca de las paredes de la cavidad en la figura 7a .
Teniendo en mente que _0d _e /dt es una corriente de desplazamiento, podemos escribir la ecuación 9 como

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Esta ecuación recala que B en la cavidad esta asociada con una corriente de desplazamiento; comparece con la ecuación 11 del capitulo 35, B = _0 i /2õr. Al aplicar la regla de la mano derecha en la figura 5 se muestra que la corriente de desplazamiento id debe estar dirigida hacia el plano de la figura 7a si ha de estar asociada con las líneas de B que están presentes y que siguen el movimiento de las manecillas del reloj.

La corriente de desplazamiento se representa en la figura 7b por medio de flechas que apuntan hacia la derecha y en la figura 7a por medio de cruces que representan a flechas que entran en la pagina. La figura 7 muestra que la corriente tiene continuidad, se dirige hacia arriba de las paredes como una corriente de conducción y luego regresa a través del volumen de la cavidad como una corriente de desplazamiento. Al aplicar la ley de Ampere generalizada por Maxwell,

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a la trayectoria circular de radio r, en la figura 7a vemos que B en esa trayectoria se debe por completo a la corriente de desplazamiento, siendo cero la corriente de conducción i dentro de la trayectoria.
En la trayectoria de radio r2, la corriente neta encerrada es cero porque la corriente de conducción en las paredes es exactamente igual y opuesta a la corriente de desplazamiento en el volumen de la cavidad. Puesto que i es igual a id en magnitud, pero su dirección es opuesta, se deduce de la ecuación 10 que B debe de ser cero en todos los puntos de la cavidad, de acuerdo con la observación.

• Las ondas electromagnéticas

En tiempos de Maxwell la luz y las radiaciones infrarrojas y ultravioletas que la acompañan eran los únicos tipos de radiaciones electromagnéticas conocidos.

Hoy en día el espectro electromagnético, que se muestra en la figura 1, abarca una amplia gama de diferentes clases de radiaciones provenientes de una variedad de fuentes. De acuerdo con la teoría de Maxwell concluimos que, si bien estas radiaciones difieren en gran manera en cuanto a sus propiedades, sus medios de producción, y las maneras en que las observamos, comparten otras características en común: todas pueden describirse en términos de campos eléctricos y magnéticos, y todas viajan a través del vacío con la misma velocidad (la velocidad de la luz).

De hecho, desde el punto de vista fundamental, difieren sólo en la longitud de onda o en la frecuencia. Los nombres dados a las diversas regiones del espectro en la figura 1 tienen que ver únicamente con la manera en que se producen u observan los diferentes tipos de onda; no tienen nada que ver con cualquier propiedad fundamental de las ondas. Aparte de la diferencia en sus longitudes de onda, no existe una manera experimental de distinguir una onda en la región visible de otra en la región infrarroja; las ondas tienen formas idénticas y descripciones matemáticas idénticas. No existen espacios en el espectro, como tampoco límites bien definidos entre las diversas categorías. (Ciertas regiones del espectro están asignadas por la ley para usos comerciales u otros usos, tales como la transmisión por TV, AM o FM.)
* El término espectro procede del latín spectrum, que significa "forma" o "apariencia". Entre las muchas otras palabras que provienen de la misma raíz se encuentran: "espectáculo" y "especie". Newton introdujo el término para describir la imagen iridiscente que resultaba cuando un haz de luz solar atravesaba un prisma de vidrio. Hoy día nos referimos al espectro electromagnético para indicar las muchas clases diferentes de radiación electromagnética, clasificadas de acuerdo con su frecuencia o longitud de onda en una escala de pequeña a grande. Hablamos también del espectro político, que indica similarmente la amplia gama de puntos de vista políticos en una escala que va desde lo ultraconservador hasta lo ultraliberal.

Consideremos algunos de estos tipos de radiación electromagnética con más detalle.

1. La luz. La región visible del espectro es la más familiar para nosotros, porque como especie hemos adaptado receptores (los ojos) que son sensibles a la radiación electromagnética más intensa emitida por el Sol, la fuente extraterrestre más cercana. Los límites de la longitud de onda de la región visible van desde 400 nm (el violeta) hasta unos 700 nm (el rojo).
La luz se emite a menudo cuando los electrones exteriores (o de valencia) de los átomos cambian su estado de movimiento; por esta razón, estas transiciones en el estado del electrón se llaman transiciones ópticas. El color de la luz nos dice algo acerca de los átomos o del objeto del cual se emitió. El estudio de la luz emitida desde el Sol y desde las estrellas distantes da una información con respecto a su composición.
2. Infrarrojos. La radiación infrarroja, que tiene longitudes de onda mayores que la de lo visible (desde 0.7 pm hasta 1 mm aproximadamente), se emite comúnmente por átomos o moléculas cuando cambian su movimiento vibratorio o rotatorio. Este cambio ocurre a menudo corno un cambio en la energía interna del objeto emisor y se observa como un cambio en la energía interna del objeto que detecta la radiación. En este caso, la radiación infrarroja es un medio importante de transferencia de calor, y a veces se le llama radiación térmica. El calor que sentimos al acercar la mano a un foco encendido es primordialmente resultado de la radiación infrarroja emitida por el bulbo y absorbida por la mano. Todos los objetos emiten radiación electromagnética (llamada "radiación térmica"; véase el capítulo 49) a causa de su temperatura. Los objetos de temperaturas en la zona que encontramos normalmente (digamos, de 3 K a 3000 K) emiten su radiación térmica más intensa en la región infrarroja del espectro. Un mapa de la radiación infrarroja que procede del espacio nos ha dado la información que suplementa la obtenida de la radiación visible (Fig. 2).

4. Ondas de radio. Las ondas de radio tienen longitudes de onda mayores de 1 m. Se producen a partir de terrestres mediante electrones que oscilan en circuitos eléctricos. Mediante una elección cuidadosa de la geometría de estos circuitos, como en una antena podemos controlar la distribución en el espacio de la radiación emitida (si la antena actúa como transmisor) o la sensibilidad del detector (si la antena actúa como receptor). Viajando al exterior a la velocidad de la luz, el frente expansivo de las ondas de las señales de TV transmitidas en la Tierra desde alrededor de 1950 ha llegado ahora a 400 estrellas aproximadamente, portando información a sus habitantes, de haberlos, con respecto a nuestra civilización.

De fuentes extraterrestres nos llegan ondas de radio, siendo el Sol una fuente principal que a menudo interfiere con la recepción de radio o de TV en la Tierra. Júpiter es también una fuente activa de emisiones de radio. El trazado de mapas de las emisiones de radio procedentes de fuentes extraterrestres, una ciencia conocida como radioastronomía, ha proporcionado información acerca del Universo que no suele obtenerse mediante el uso de telescopios ópticos. Además, puesto que la atmósfera de la Tierra no absorbe mucho las longitudes de onda de radio, la radioastronomía proporciona ciertas ventajas sobre la astronomía óptica, o infrarroja, o de microondas en la Tierra. La figura 4 muestra un ejemplo de un radiotelescopio, y la figura 5 ofrece un resultado típico de las observaciones de nuestra galaxia para las longitudes de onda de radio.

Uno de los descubrimientos más sorprendentes de la radioastronomía fue la existencia de fuentes pulsadas de ondas de radio, observada por primera vez en 1968. Estos objetos, conocidos como pulsares, emiten ráfagas muy cortas de ondas de radio separadas en tiempo por intervalos del orden de segundos. Este intervalo de tiempo entre pulsaciones es extremadamente estable, variando en menos de 10-9 s. Se cree que los pulsares se originan de estrellas de neutrones en rotación, en donde los electrones atrapados por el campo magnético experimentan aceleraciones centrípetas grandes debidas a la rotación. Las emisiones de radio altamente direccionales barren a la Tierra como si fuesen un faro buscador cuando la estrella gira. Los pulsares se han observado dentro de toda la zona del espectro, incluyendo longitudes de onda visibles y de rayos X.

5. Ultravioleta. Las radiaciones de longitudes de onda más cortas de lo visible comienzan con la ultravioleta (1 nm a 400 nm), la cual puede producirse por las transiciones atómicas de los electrones exteriores así como en la radiación que parte de fuentes térmicas como el Sol. Puesto que nuestra atmósfera absorbe fuertemente las longitudes de onda ultravioletas, poca de esta radiación del Sol llega a la superficie. Sin embargo, el principal agente de esta absorción es el ozono atmosférico, que en años recientes se ha estado agotando como resultado de las reacciones químicas con los fluorocarbonos liberados de los rociadores con aerosoles, los equipos de refrigeración y otras fuentes. Una exposición breve a la radiación ultravioleta provoca quemaduras comunes en la piel, pero la exposición prolongada puede producir efectos más graves, entre los que se encuentra el cáncer de la piel. La astronomía del ultravioleta se lleva a cabo usando observatorios transportados por satélites a la órbita terrestre.
6. Rayos X. Los rayos X (con longitudes de onda típicas entre 0.01 nm y 10 nm) pueden producirse con longitudes de onda discretas en transiciones individuales entre los electrones interiores (los más fuertemente ligados) de un átomo, y también pueden producirse al desacelerar partículas cargadas (como los electrones). Las longitudes de onda de los rayos X corresponden aproximadamente al espaciamiento entre los átomos de los sólidos; por lo tanto la dispersión de los rayos X de los materiales es una manera útil de estudiar su estructura. Los rayos X pueden penetrar fácilmente en tejidos blandos pero son detenidos por los huesos y otras materias sólidas; por esta razón han encontrado un uso amplio en los diagnósticos médicos.
La astronomía de rayos X, al igual que el astro del ultravioleta, se efectúa con observatorios en órbita. La mayoría de las estrellas, como el Sol, no son en potentes de rayos X; sin embargo, en ciertos sistemas que constan de dos estrellas vecinas que giran alrededor de su centro de masa común (llamado sistema binario), el material de una estrella puede calentarse y acelerarse mientras cae en la otra, emitiendo rayos X en el proceso, bien no se dispone aún de una prueba que lo confirme, cree que el miembro más masivo de ciertas binarias de rayos X debe ser un hoyo negro.
7. Rayos gamma. Los rayos gamma son radia electromagnéticas con las longitudes de onda más cortas (menos de 10 pm). Son las más penetrantes en radiaciones electromagnéticas, y la exposición a una radiación gamma intensa puede tener un efecto perjudicial sobre el cuerpo humano. Estas radiaciones pueden emitir en las transiciones de un núcleo atómico de un estado a otro y también pueden ocurrir en las desintegraciones de ciertas partículas elementales; por ejemplo, un pion neutral puede desintegrarse en dos rayos gamma de acuerdo con

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y un electrón y un positrón (la antipartícula del electrón pueden aniquilarse mutuamente en dos rayos gamma;

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En general, cada uno de tales procesos emite rayos gamma de una longitud de onda única. En la astronomía de rayos gamma, la detección de tales radiaciones (y las mediciones de su longitud de onda) sirve como prueba de procesos nucleares particulares en el Universo.
Con base en las descripciones anteriores puede que existen fuentes, tanto naturales como artificiales, de todos los tipos de radiaciones electromagnéticas, y también que el estudio de las radiaciones electromagnéticas de todas las longitudes de onda se ha empleado en años recientes para proporcionar una imagen más precisa de la estructura y evolución del Universo.
Al describir las emisiones de radiación electromagnética como un fenómeno ondulatorio, nos estamos concentrando en un aspecto particular. Consideramos los átomos del sistema que emite la radiación como si se comportasen cooperativamente; por ejemplo, se necesita la participación de los electrones de muchos átomos para la emisión de la luz a partir del filamento caliente de un foco. Como alternativa, podemos estudiar la emisión de radiación electromagnética por un solo átomo. En este caso centraremos nuestra atención en un paquete de energía electromagnética (llamado cuanto), y observaremos generalmente la radiación no como una onda que varía suavemente sino como un paquete concentrado de energía electromagnética. Ciertos experimentos parecen inconsistentes con la interpretación de la onda y pueden explicarse en términos de partículas o cuantos de radiación electromagnética. En el presente capítulo hacemos hinca-pié en los aspectos de onda y hacemos caso omiso de los aspectos de la partícula.

Una carga eléctrica en reposo crea un patrón de líneas de campo eléctrico. Una carga en movimiento a velocidad constante genera un patrón de líneas de un campo magnético, además de las líneas del campo eléctrico. Una vez que se haya alcanzado una condición estacionaria (esto es, después de que la carga está en movimiento y se han creado los campos en el espacio), existe una densidad de energía en el espacio asociada con los campos eléctrico y magnético, pero la densidad de energía permanece constante en el tiempo. No se transporta ninguna señal, tan sólo la prueba de su presencia, de la carga a puntos distantes; existe un transporte de energía o de cantidad de movimiento y tampoco radiación electromagnética.
Si, por otra parte, moviéramos rápidamente la carga de un lado a otro, podríamos enviar señales a una persona distante que tuviera el equipo necesario para detectar cambios en los campos eléctrico y magnético. Con un código preconcertado, usted podría enviar información al menear rápidamente la carga a determinada velocidad o en cierta dirección. En este caso, usted estaría emitiendo señales por medio de una onda electromagnética. Para producir esta onda es necesario acelerar la carga. Esto es, las cargas estáticas y las cargas en movimiento a velocidad constante no se radian; se radian las cargas aceleradas. Dicho de otro modo, el movimiento uniforme de la carga es una corriente que no cambia con el tiempo, y el movimiento acelerado de la carga es, por consiguiente, una corriente que varía con el tiempo; entonces, podemos considerar igualmente a la radiación como si fuese producida por corrientes variables con el tiempo.
En el laboratorio, una manera conveniente de generar una onda electromagnética es hacer que las corrientes en los conductores varíen con el tiempo. Para simplificar, suponemos una variación senoidal del tiempo. La figura 6 muestra un circuito que puede emplearse con este propósito. Consta de un circuito RLC oscilatorio, con una fuente externa que restituye la energía que se disipa en el circuito o se escapa como radiación. La corriente en el circuito varía senoidalmente con la frecuencia circular resonante w, la cual es, aproximadamente, cuando la carga resistiva es pequeña (véase capítulo 12). El oscilador se acopla con un transformador a una línea de transmisión, la cual sirve para conducir la corriente a una antena. (Los cables coaxiales que conducen señales de TV a muchos hogares son ejemplos comunes de líneas de transmisión.)
La geometría de la antena determina las propiedades geométricas de los campos eléctricos y magnéticos radiados. Suponemos una antena de dipolo, la cual, como lo muestra la figura 6, puede considerarse simplemente co-mo dos conductores rectos. En estos dos conductores fluyen cargas que oscilan a la frecuencia w, excitadas por el oscilador. Podemos ver a la antena como un dipolo eléctrico oscilatorio, en donde una rama conduce una carga instantánea q, y la otra rama conduce -q. La carga q varía senoidalmente con el tiempo y cambia de signo en cada semiciclo. Las cargas se aceleran ciertamente al mo-verse de un lado al otro en la antena, y como resultado la antena es una fuente de radiación dipolar eléctrica. En cualquier punto en el espacio existen campos eléctricos y magnéticos que varían senoidalmente con el tiempo.*
* La mayoría de las radiaciones que encontramos, desde las ondas de radio hasta la de la luz, los rayos X y los rayos gamma, son del tipo dipolar. Las antenas de radio y TV se diseñan generalmente para transmitir una radiación dipolar. Los átomos y núcleos individuales pueden considerarse a menudo como dipolos oscilatorios desde el punto de vista de la radiación emisora.