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Graficas en coordenadas polares
- 1. GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES Autor: José Albert C.I: 13.193.893 Septiembre, 2018 República bolivariana de venezuela Instituto universitario politécnico “santiago mariño”
- 2. COORDENADAS POLARES • Las coordenadas polares o sistema de coordenadas polares, son un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo. Para ello se aplican las siguientes transformaciones:
- 3. Para representar un punto en el plano, conociendo sus coordenadas polares, se debe de disponer de un plano que contenga como referencia ángulos y magnitudes, a esto se le conoce Sistema Polar o Plano Polar (ver figura).
- 4. • Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo r como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma (r(θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función r. • Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar r. Si r(−θ) = r(θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si r(180°−θ) = r(θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si r(θ−α°) = r(θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo. • Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide.
- 5. • Las coordenadas de las ecuaciones polares se expresan de la forma (r, θ), donde r representa al radio y θ representa al ángulo. Esto significa que debes rotar θ radianes y desplazarte r unidades hacia afuera. • Toma algunos valores aleatorios para θ (unos 10 valores serán suficientes) y calcula r para cada uno de los valores usando la relación que existe entre r y θ, de acuerdo a la expresión de la curva a representar. • Marca en el gráfico los distintos puntos (r, θ) que están en la tabla. • Une con una curva suave los puntos que marcaste Para graficar en COORDENADAS POLARES
- 6. • La ecuación cartesiana de una recta tal, que el origen pertenecen a ella, es de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 • Al transformarla a polares queda: • Cuando la recta tiene una distancia “d”, del origen, la forma polar es: r= 𝑑 cos(𝜃−𝜑 ) rectas 𝜃 = 𝜑
- 7. • La ecuación general para una circunferencia con centro en (r0, 𝜃) y radio 𝜑 es: 𝑎2 = 𝑟2 −2𝑟r0cos(𝜃-𝜑) + r0 2 • En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene: r(𝜃)= 𝑎 circunferencia
- 8. • La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple, 𝑟 𝜃 = acos(𝑘𝜃 + ∅) • Para cualquier constante ∅ (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones representan una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional pero no entero, la gráfica es similar a una rosa pero con los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa. • Si tomamos solo valores positivos para r y valores en el intervalo [0,2╥ ) para α, la gráfica de la ecuación: La rosa polar
- 9. • La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por Arquímedes, la cual puede expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa con la ecuación: 𝑟 𝜃 = 𝑎 + 𝑏𝜃 • Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que b controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva fue una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación polar. La espiral de Arquímedes
- 10. • Los caracoles tiene la ecuación polar de la forma: 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 cos 𝜃 o de la forma 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 sen 𝜃. Para ello se considera: • Si a = b, se llama Cardioides, la forma es: • Si a > b, se llama Limacon o Caracol sin rizo, la forma es: • Si a < b, se llama Limacon o Caracol con rizo, la forma es: CARACOLES
- 11. • Tienen la ecuación polar de la forma: 𝑟2 = 𝑏 sen 𝜃 𝑜 𝑟2 = 𝑏 cos 𝜃. lemniscatas