Casi todos los ejercicios de las matemáticas suelen expresarse en el sistema de coordenadas rectángulares; sin embargo, existe un sistema de coordenadas polares, el cual permite visualizar de mejor forma algunos problemas que no resultan fáciles de explicar mediante el sistema de coordenadas rectangulares.

Al finalizar esta unidad, los estudiantes estarán en condiciones de responder a las siguientes preguntas:

• ¿Qué son las coordenadas polares?
• ¿Cómo se calculan áreas en este sistema de coordenadas?
• ¿Qué relaciones existen entre las coordenadas polares y las coordenadas rectángulares?
• ¿Cómo se convierten coordenadas de un sistema a otro?

Objetivo general

Conocer y aplicar el concepto de coordenadas polares, las relaciones entre coordenadas polares y rectángulares, y el concepto de área en coordenadas polares.

Objetivos específicos

• Conocer y aplicar el concepto de coordenadas polares.
• Aplicar la conversión de coordenadas y sus relaciones.
• Determinar áreas en coordenadas polares usando métodos de integración.

El sistema cartesiano es un sistema rectángular debido a que la representación geométrica de un punto en este sistema describe la forma de un rectángulo. Ahora bien, si representamos ese mismo punto usando un vector de magnitud r que parte desde el origen y tiene un ángulo de giro θ, el punto describirá una forma diferente.

El sistema de coordenadas polares permite graficar algunas funciones que en el sistema cartesiano resultarían difícilmente comprensibles y graficables, además permite hacer conversiones entre sí y el sistema de coordenadas cartesianas sin mayor dificultad.

Haga clic para saber cómo se localiza un punto en el sistema de coordenadas polares.

Finalmente y a manera de complemento, haga clic sobre el enlace para ver dos ejemplos de localización de puntos en el sistema de coordenadas polares.

La relación entre estos dos sistemas se establece a través del triángulo de Pitágoras, pues es a través de dicho modelo que se posibilita pasar coordenadas de un sistema a otro mediante la aplicación de procesos simples.

Para explicar mejor esta situación suponga que tenemos un punto P cuya representación en el sistema de coordenadas rectángulares, o cartesianas, es (x, y) y su representación en coordenadas polares es (r, θ), como se vé en la figura de la derecha. Entonces, utilizando las definiciones de seno y coseno del triángulo, podemos decir que:

Así como:

.

De esta forma podemos obtener como relaciones: x=rcosθy y=rsenθ.

Gracias a estas relaciones y sus consecuentes fórmulas de transformación, que se exponen en el gráfico de la derecha, es posible pasar de un sistema de coordenadas a otro. En este proceso, llamado transformación de coordenadas, es importante tratar de resolver las fracciones resultantes, de manera que los resultados que se presenten en números puedan presentarse en números decimales.

Haga clic sobre el enlace para revisar un ejemplo que explica la relación entre sistemas de coordenadas.

Actividad de aprendizaje

A partir de los conceptos expuestos, resuelva el siguiente ejercicio.

Al igual que en el sistema de coordenadas cartesianas, en el de coordenadas polares existen funciones y sus respectivas gráficas, y es por esto que resulta importante el manejo de un segundo sistema de coordenadas o de representación de funciones.

Para explicar la forma en que se representan las funciones en este nuevo sistema, primero expondremos el sistema de ecuaciones o funciones que se grafican en coordenadas polares, como: rectas, círculos, polígonos, cardioides, etc.

Posteriormente, expondremos las diversas gráficas que representan las ya mencionadas funciones, y cómo se determinan sus parámetros.

Actividad de aprendizaje

La siguiente actividad de completar palabras le permitirá afianzar algunos de los términos estudiados hasta este punto.

Una ecuación o función en coordenadas polares se representa de la forma r=f(θ). Es decir que el valor de la distancia, o vector, que se representa con la letra r, está en función del ángulo, que por lo general se representa con la letra griega θ.

Las ecuaciones que más se suelen graficar en este sistema son: rectas, circunferencias, cónicas, caracoles, rosas, lemniscatas y espirales, entre otras. Todas estas gráficas, al igual que en el sistema cartesiano, representan los puntos en los que la relación entre r y θ se cumple a cabalidad.

Es importante recordar que las unidades de los ángulos pueden trabajarse en grados o en radianes.

• Teorema 1

Las siguientes son las descripciones, las gráficas y los ejemplos de algunas funciones polares:

• Recta: Una ecuación cartesiana de la forma y=mx, después de ser transformada nos queda como θ=C, donde C es una constante. Haga clic aquí para ver la gráfica de una recta.
• Circunferencia: Al convertir la gráfica de una circunferencia del sistema rectángular al polar, tendremos que: r=a es la ecuación de una circunferencia centrada en el polo. Haga clic aquí para ver la gráfica de una circunferencia.
• Cónica: Suponga que el foco es el polo y su recta directriz está a una distancia d del polo. Haga clic aquí para ver la gráfica de una cónica.
• Caracol: Los caracoles tienen una ecuación polar de la forma r=a±bcosθ o de la forma r=a±bsenθ, para los cuales se consideran también tres casos:
  1. Si a=b se llaman cardioides.
  2. Si a>b se llaman limaçon o caracol sin rizo.
  3. Si a<b se llaman limaçon o caracol con lazo.
• Rosa: La ecuación polar de una rosa se expresa de las formas r=acos(nθ) o r=asen(nθ), para n>1 y n∈ N. En este caso solo se presentan dos casos:
  1. Si n es par es una rosa de 2n pétalos.
  2. Si n es impar es una rosa de n pétalos.
• Espiral: Su ecuación polar es de la forma r=ae^bθ de tipo exponencial.

Haga clic sobre el enlace para ver los ejemplos en los que se grafican las funciones expuestas en el sistema de coordenadas polares.

Otro de los usos del sistema de coordenadas polares es el cálculo de longitudes de arcos y áreas de regiones, lo cual tiene diversas aplicaciones en campos ingenieriles, pues gracias a este tipo de cálculos es posible planear el uso y la distribución de espacios físicos para construir edificaciones o para instalar equipos en un sistema de producción. De igual manera, permiten determinar áreas de influencia o de riesgo en las labores empresariales.

Longitud de un arco

Para calcular la longitud de un arco no se hace necesario el uso de un teorema, sino que se toma la ecuación del sistema de coordenadas cartesianas y se transforma al sistema de coordenadas polares. Dicha ecuación, en su sistema original, se presenta de la siguiente manera:

Haga clic sobre el enlace para ver el proceso de transformación de coordenadas correspondiente a esta ecuación y un ejemplo de aplicación.

Área de una región

Teorema 2. Área de una región en coordenadas polares

Sea R la región limitada por las rectas θ=α y θ=β y la curva cuya ecuación es r=f(θ), donde f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [α, β]. Entonces, si A unidades cuadradas es el área de la región R, la podemos expresar como:

Trabajar en el sistema de coordenadas polares permite realizar algunos cálculos que en el sistema de coordenadas rectángulares se hacen difíciles, y viceversa. Este proceso de cambiar de un sistema a otro se llama transformación de coordenadas y se caracteriza por su simplicidad y por el tipo de figuras que resultan al graficar las ecuaciones en este sistema.

En general, la mayoría de cálculos pueden ser transformados de un sistema a otro, permitiendo la versatilidad en la aplicación y ejecución de procesos que precisan de este cambio para el entendimiento de las formas y estructuras de funciones.